Test chi-kwadrat
Standardowy test na pytanie: „czy te 37 liczności to wynik, jaki dałoby koło rzetelne?”
χ² = Σ (zaobserwowane − oczekiwane)² / oczekiwane po wszystkich 37 przegródkach. Porównaj z rozkładem chi-kwadrat o 36 stopniach swobody, by uzyskać wartość p.
Obliczanie
Oczekiwana liczność na przegródkęsprzętPrzegródkaJedno z 37 ponumerowanych zagłębień na rotorze. Także: komora, gniazdo.Czytaj całość → to n/37. Dla każdej przegródki podnieś do kwadratu różnicę między zaobserwowaną a oczekiwaną liczbą i podziel przez oczekiwaną; zsumuj 37 składników. Koło rzetelne daje średnio wartości około 36 (tyle wynoszą stopnie swobodylaboratoriumStopnie swobodyLiczba niezależnych wartości w statystyce. W teście chi-kwadrat dla 37 przegródek wynosi 36, bo liczebności muszą sumować się do całości.Czytaj całość →), przy odchyleniu standardowymmatematykaOdchylenie standardowePierwiastek kwadratowy z wariancji; typowa odległość wyniku od wartości oczekiwanej.Czytaj całość → około 8,5. Wartość powyżej 51,0 jest istotna na poziomie 5%; powyżej 58,6 na poziomie 1%. Analizator skrzywienia koła oblicza statystykę i dokładną wartość plaboratoriumWartość pPrawdopodobieństwo zobaczenia odchylenia co najmniej tak dużego jak zaobserwowane, gdyby koło było rzetelne.Czytaj całość → za pomocą uregulowanej niepełnej funkcji gamma.
Przykład krok po kroku
1000 spinów. Trzydzieści sześć przegródek wypada od 20 do 34 razy; przegródka 8 wypadła 41 razy. Oczekiwana liczba to 27,03. Sam składnik przegródki 8 to (41 − 27,03)²/27,03 = 7,2. Załóżmy, że pozostałe 36 składników daje w sumie 38 (typowo). χ² = 45,2 przy 36 df, p ≈ 0,14. Wynik nieistotny: koło rzetelne daje taki wynik raz na siedem razy. Przegródka 8 jest kandydatką, a nie ustaleniem, a odpowiedzią jest kolejny tysiąc spinów.
Założenia
Niezależne spinymatematykaNiezależne spinyKażdy spin ma te same prawdopodobieństwa niezależnie od historii. Podstawa wszystkich obliczeń w tym serwisie.Czytaj całość → oraz oczekiwane liczności co najmniej 5 na przegródkę, co oznacza n ≥ 185, żeby test w ogóle był poprawny, i znacznie więcej, żeby był użyteczny. Łączenie spinów z różnych kół narusza pierwsze założenie w duchu (testujesz mieszaninę, a nie koło). Efekt sygnatury krupiera naruszyłby je faktycznie i zawyżyłby χ², choć żadna przegródka nie byłaby fizycznie faworyzowana.
Pearson i Monte Carlo
Karl Pearson opublikował ten test w 1900 roku, a jednym z jego pierwszych przykładów było 26 306 zapisanych spinów ruletki z Monte Carlo, które uznał za zbyt nierównomierne, by były dziełem przypadku, i oświadczył, że „ruletka w Monte Carlo… nie jest grą losową”. Późniejsi autorzy doszli do wniosku, że dziennikarze, którzy zapisywali spiny dla gazety, wiele z nich wymyślili, co samo w sobie jest lekcją o pochodzeniu danych.
Pearson publikuje test zgodności chi-kwadrat, ze spinami z Monte Carlo jako przykładem.
Dane o spinach zostają zakwestionowane; wygląda na to, że zapisujący zmyślili serie.
Fisher formalizuje stopnie swobody; przyjmuje się konwencja 5%.
Statystycy używają spinów ruletki jako podręcznikowych danych do testów jednorodności.
Rodzina García-Pelayo stosuje tę metodę do prawdziwych zapisanych danych i wygrywa w Madrycie.
Kasyna przeprowadzają ten sam test na własnych kołach w ramach rutynowej konserwacji.
Prawdziwy test: automatyczne koła w Las Vegas
Gracze często podejrzewają, że automatyczne koło odsuwa kulkęsprzętKulkaMała kulka wypuszczana na tor przeciwnie do ruchu rotora. Współczesne kulki są z ivorine albo teflonu i mają 18–21 mm.Czytaj całość → od dużych zakładów. W 2017 Wizard of Odds wystawił to podejrzenie na próbę na automatycznych kołach Interblock z podwójnym zeremkołoZeroJedyna zielona przegródka, której nie pokrywa żadna szansa prosta ani zakład na tuzin lub kolumnę; źródło przewagi kasyna. Także: pojedyncze zero, 0.Czytaj całość → w Las Vegas (bez krupiera), stawiając na łuk pięciu sąsiednich numerów, czyli zakład, jaki stawia gracz mierzący czas obrotów koła. W 299 spinach łuk wygrał 29 razy przy oczekiwanych 39,3 – taki niedobór koło rzetelne daje w około 4% przypadków. Statystyka chi-kwadrat po wszystkich 38 przegródkach wyniosła 45,29 przy 37 stopniach swobody: p = 16,5%. Druga próba, 1204 spiny na trzech kołach, dała χ² = 34,79, p = 57%, a żaden sprawdzony łuk, jakiejkolwiek długości, nie był istotny statystycznie. Obie próby razem, 1503 spiny, dały χ² = 41,75, p = 27%. Werdykt: brak dowodów na sterowanie kulką. Sama pierwsza próba wyglądała podejrzanie; rozstrzygnęła dopiero druga.
Poza chi-kwadrat
Dla jednej podejrzanej przegródki mocniejszy jest test dwumianowy. Dla podejrzanego łuku – sektorowykołoSektorCiągły łuk przegródek na kole, w odróżnieniu od grupy na polu zakładów.Czytaj całość → test z ze strony o analizie sektorów. Chi-kwadrat to test ogólny: mówi, że coś jest nie tak, ale nie mówi co. Użyj go najpierw, potem zacznij szukać.
Wzór
Pytania
37 liczności musi sumować się do n, więc tylko 36 może się swobodnie zmieniać.
Koło z jedną przegródką o prawdopodobieństwie 1/25 przy 10 000 spinów dałoby samo w sobie składnik około 70; χ² znacznie ponad 100, p praktycznie zero.
Technicznie tak, przy oczekiwanych 5,4 na przegródkę. Nie wykryje niczego poza kołem z przegródką zaklejoną na stałe.
Chwila oddechu
Zsumuj kwadraty zaskoczeń. Porównaj z 51,0.
Źródła
- Pearson, K. “On the criterion that a given system of deviations from the probable…”
- Feller, W. An Introduction to Probability Theory and Its Applications, Vol. 1.
- Wizard of Odds. „Organic Roulette Experiment”.