Kryterium Kelly'ego a ruletka

Kryterium

John Kelly (1956) zapytał, jak gracz ze znaną przewagą powinien ustalać stawki, żeby zmaksymalizować wzrost bankrollapieniądzeBankrollŁączna kwota przeznaczona na grę. Zarządzanie bankrollem to decydowanie, jaką jego część ryzykować na zakład i na sesję.Czytaj całość → w długim okresie. Odpowiedź, dla zakładu płacącego b do 1 z prawdopodobieństwemmatematykaPrawdopodobieństwoMiara możliwości wystąpienia wyniku, od 0 do 1 albo od 0% do 100%. Jeden numer: 1/37 = 2,70%.Czytaj całość → wygranej p i prawdopodobieństwem przegranej q = 1 − p, brzmi: postawić ułamek f* = (bp − q) / b bankrolla. Dodatnie f* oznacza: postaw ten ułamek; zero lub ujemne – nie stawiaj. Kelly pracował w Bell Labs, a jego artykuł „A new interpretation of information rate” osadził problem w teorii informacji Claude’a Shannona: gracz, który dostaje typy przez zaszumioną linię, przy sprawiedliwych wypłatach może pomnażać bankroll co najwyżej w tempie, w jakim linia przenosi informację. W 1961 roku Leo Breiman udowodnił, że gra metodą Kelly'ego w długim okresie kończy się lepiej niż każda istotnie inna strategia i osiąga wyznaczony cel w niemal najkrótszym możliwym czasie.

Zastosowanie do ruletki

Dla czerwonegozakładCzerwoneSzansa prosta: zakład na 18 czerwonych numerów. Po francusku: rouge.Czytaj całość →: b = 1, p = 18/37, q = 19/37; f* = (18/37 − 19/37)/1 = −1/37. Dla zakładu na jeden numerzakładJeden numer (straight up)Pojedynczy numer, płaci 35:1.Czytaj całość →: b = 35, p = 1/37, q = 36/37; f* = (35/37 − 36/37)/35 = −1/1295. Każdy standardowy zakład daje ujemny ułamek Kelly'ego, bo każdy zakład ma ujemną przewagę, a stawka optymalna dla wzrostu wynosi zero. Kelly to formalny sposób powiedzenia tego, co mówi strona o przewadze kasyna: nie ma takiej wielkości stawki, przy której zakład o ujemnej wartości oczekiwanej powiększa bankroll.

Gdzie Kelly miał zastosowanie

Gracze wykorzystujący skrzywienie mieli przewagę i problem z wielkością stawek. Jagger, rodzina García-Pelayo i Eudaemons musieli zdecydować, ile postawić na swoją zmierzoną przewagę, a zaniżanie stawek marnuje przewagę, zaś zawyżanie grozi ruiną, zanim przewaga się ujawni. Dla przegródkisprzętPrzegródkaJedno z 37 ponumerowanych zagłębień na rotorze. Także: komora, gniazdo.Czytaj całość → trafiającej 1 na 30 Kelly mówi: 0,57% bankrolla na spin na ten numer; przy $10 000 to około $57 na spin, co daje typowy wzrost około 0,054% na spin, czyli ×1,7 w ciągu 1000 spinów. Średni przyrost jest dwa razy większy, 0,11% na spin, ale Kelly celuje w typowy bankroll, a nie w średni, który zawyża kilka szczęśliwych serii. Pół Kelly'ego to zwykły wybór praktyczny, bo oszacowanie przewagi jest niepewne.

Słynni gracze w ruletkęEudaemons

Typowy i średni

Różnica między typowym a średnim bankrollem jest duża. Weźmy przegródkę, która trafia 1 raz na 25, co daje przewagę 44%, czyli wartość, którą Thorp podaje dla swojego urządzenia. Kelly każe stawiać na nią 1,26% bankrolla. Po 1000 spinów typowy bankroll rośnie około 11,5 raza, a średni, wyciągnięty w górę przez kilka bardzo szczęśliwych serii, około 249 razy. Stawianie więcej, niż mówi Kelly, podnosi średni wynik i obniża typowy: przy podwójnej stawce Kelly'ego typowy bankroll tylko się podwaja, a przy dwuipółkrotności stawki Kelly'ego już maleje, choć każdy zakład nadal ma 44% przewagi. Stawianie mniej kosztuje niewiele: połowa stawki zachowuje około trzech czwartych wzrostu.

Gdy przewaga jest tylko domysłem

Kelly zakłada, że przewaga jest znana. Przy stole trzeba ją oszacować, a oszacowanie jest zwykle zbyt wysokie. Przykład Epsteina, oparty na 44% Thorpa, to numer, który wypadł 49 razy w 1225 spinach koła z podwójnym zeremkołoZeroJedyna zielona przegródka, której nie pokrywa żadna szansa prosta ani zakład na tuzin lub kolumnę; źródło przewagi kasyna. Także: pojedyncze zero, 0.Czytaj całość →: 1 raz na 25, co daje przewagę 44% i stawkę Kelly'ego 1,26%. Ale rzetelne koło z podwójnym zerem ma 38 numerów, a najczęstszy z nich osiąga 49 lub więcej trafień w 1225 spinach mniej więcej raz na dziewięć. Najczęstszy numer w każdym zapisie jest też tym, któremu szczęście pomogło najbardziej, więc nawet naprawdę uprzywilejowana przegródka wygląda w zapisie lepiej, niż jest: to klątwa zwycięzcy. Jeśli ta przegródka w rzeczywistości nie jest uprzywilejowana, stawka Kelly'ego to po prostu zakład, który średnio traci 5,26%. Zwykłe rozwiązania to stawianie ułamka stawki Kelly'ego i dalsze liczenie, aż przewaga przetrwa nowy zapis (zob. Jak wykryć skrzywienie koła).

Ludzie z przewagą

Znać przewagę to nie to samo, co dobrze ją wykorzystać. Haghani i Dewey (2016) dali 61 osobom po $25 i pozwolili im przez pół godziny stawiać na monetę, która – jak im powiedziano – wypada orłem w 60% rzutów, przy wygranej ograniczonej do $250 (gracze dowiadywali się o limicie dopiero wtedy, gdy go osiągnęli). Według Kelly'ego za każdym razem należy stawiać na orła 20% bankrollu, a autorzy szacują, że stałe zakłady po 10–20% dochodziłyby do limitu w około 95% przypadków. Dotarło do niego tylko 21% graczy. Aż 28% zbankrutowało, 18 z 61 osób postawiło wszystko na jeden rzut, około jednej trzeciej skończyło poniżej $25, od których zaczynało, a średnia wypłatapieniądzeWypłataTo, co zwraca wygrany zakład, podawane jako „X do 1” ponad zwróconą stawkę.Czytaj całość → wyniosła $91. Tylko pięcioro z 61 słyszało o kryterium Kelly'ego. Gdy masz przewagę, wielkość zakładów decyduje, czy ją zachowasz; bez przewagi, jak przy rzetelnym kole, żadna wielkość nie pomoże.

Co stosować zamiast tego

Bez przewagi ustalanie stawki to kwestia budżetu, a nie wzrostu: stawka to tyle, ile jesteś gotów wydać na spin, wyprowadzone z godzinowego budżetu i tempa stołu (strona o zarządzaniu bankrollem). Wkład Kelly'ego dla zwykłego gracza to jasność jego odpowiedzi: zero. Wszystko, co stawiasz powyżej zera, jest ceną gry, wybraną przez ciebie, a nie zoptymalizowaną żadnym wzorem.

Uwaga o ułamkowym Kellym i „zarządzaniu pieniędzmi”

Systemy sprzedawane jako „Kelly dla ruletki”, które zalecają stały procent bankrolla na zakład, to gra stałą stawkąstrategiaGra stałą stawkąStawianie tej samej kwoty w każdym spinie. Punkt odniesienia, z którym porównuje się każdą progresję.Czytaj całość → z malejącą stawką. Tracą 2,70% obrotupieniądzeObrótŁączna kwota postawiona w trakcie sesji lub okresu, z uwzględnieniem ponownie postawionych wygranych. Także: handle, action.Czytaj całość →, a ponieważ stawka maleje w miarę strat, ruina jest przez to powolna, a nie mniej prawdopodobna. To rozsądny sposób, by budżet starczył na dłużej; to nie jest Kelly, który kazałby przestać.

Gra stałą stawką

Wzór

Pytania