Prawdopodobieństwo serii
Długie serie jednego koloru są częste. Dla następnego spinu nie znaczą też nic.
Pięć czerwonych z rzędu: 2,7%. Dziesięć: 0,074%. W sesji 200 spinów seria sześciu jednego koloru pojawia się częściej, niż się nie pojawia.
Jak często zdarza się seria przegranych
Szansa prosta na kole z jednym zerem przegrywa w 19 spinach na 37. Każdy wiersz to prawdopodobieństwo, że dana seria spinów będzie w całości przegrana, oraz kwota, którą do tego momentu stracił gracz stosujący system Martingale, czyli podwajający stawkę po każdej przegranej.
| przegrane z rzędu | prawdopodobieństwo | około 1 na | strata dotąd | następny zakład |
|---|---|---|---|---|
| 1 | 51,4% | 2 | $1 | $2 |
| 2 | 26,4% | 4 | $3 | $4 |
| 3 | 13,5% | 7 | $7 | $8 |
| 4 | 7,0% | 14 | $15 | $16 |
| 5 | 3,6% | 28 | $31 | $32 |
| 6 | 1,8% | 55 | $63 | $64 |
| 7 | 0,94% | 106 | $127 | $128 |
| 8 | 0,48% | 207 | $255 | $256 |
| 9 | 0,25% | 403 | $511 | $512 |
| 10 | 0,13% | 784 | $1023 | $1024 |
| 11 | 0,065% | 1527 | $2047 | $2048 |
| 12 | 0,034% | 2974 | $4095 | $4096 |
| 13 | 0,017% | 5792 | $8191 | $8192 |
| 14 | 0,0089% | 11279 | $16 383 | $16 384 |
| 15 | 0,0046% | 21965 | $32 767 | $32 768 |
Prawdopodobieństwo to 19/37 pomnożone przez siebie raz na każdą przegraną, liczone od jednego wskazanego spinu. W długiej sesji jest wiele spinów, od których taka seria może się zacząć, więc w ciągu wieczoru jest ona znacznie bardziej prawdopodobna, niż wynikałoby z jednego wiersza.
Pojedyncza seria
PrawdopodobieństwomatematykaPrawdopodobieństwoMiara możliwości wystąpienia wyniku, od 0 do 1 albo od 0% do 100%. Jeden numer: 1/37 = 2,70%.Czytaj całość →, że najbliższe k spinów to wszystkie czerwonezakładCzerwoneSzansa prosta: zakład na 18 czerwonych numerów. Po francusku: rouge.Czytaj całość →, wynosi (18/37)ᵏ. Dwa: 23,7%. Pięć: 2,7%. Dziesięć: 0,074%, około 1 na 1350. Dwadzieścia: 1 na 1,8 miliona. Dwadzieścia sześć, rekord z Monte Carlo: 1 na 137 milionów. To są szanse konkretnej serii zaczynającej się od konkretnego spinu, a to pytanie, które prawie nikt naprawdę nie zadaje.
W sesji
Pytanie, które ludzie mają na myśli, to „czy seria długości k pojawi się gdzieś w mojej sesji?”, a odpowiedź jest dużo większa niż (18/37)ᵏ, bo sesja 200 spinów daje prawie 200 miejsc, w których seria może się zacząć. Seria sześciu lub więcej wyników tego samego koloru, czerwonego lub czarnegozakładCzarneSzansa prosta: zakład na 18 czarnych numerów. Po francusku: noir.Czytaj całość →, pojawia się w sesji 200 spinów w około 94% przypadków; ośmiu lub więcej w około 47%; dziesięciu lub więcej w około 14%. Jeśli wskażesz kolor z góry, prawdopodobieństwa spadają do około 75%, 27% i 7%. Gracz, który posiedzi cały wieczór, zobaczy długie serie każdego wieczoru.
Dlaczego to ważne dla systemu Martingale
Każda ujemna progresjastrategiaProgresjaKażda reguła, która zmienia stawkę na podstawie poprzednich wyników. Progresje ujemne podnoszą ją po przegranych, dodatnie po wygranych.Czytaj całość → ma długość serii, która ją łamie: sześć przegranych od bazy $10 przy limicie $500, dziesięć dla systemu FibonacciegostrategiaFibonacciProgresja według ciągu 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13…: jeden krok naprzód po przegranej, dwa kroki wstecz po wygranej.Czytaj całość →, pięć przy potrajaniu na tuzinachzakładTuzin1–12, 13–24 albo 25–36, płaci 2:1.Czytaj całość →. Prawdopodobieństwo serii sześciu przegranych na szansach prostych wynosi (19/37)⁶ ≈ 1,8% na próbę, a sesja 200 spinów zawiera może 100 prób, więc załamanie następuje mniej więcej w czterech sesjach na pięć tej długości. Prawdopodobieństwa serii to powód, dla którego ten klif nie jest rzadki.
Gorące i zimne numery
Ta sama arytmetyka dotyczy zakładów na jeden numerzakładJeden numer (straight up)Pojedynczy numer, płaci 35:1.Czytaj całość →. W 300 spinach oczekiwana liczba trafień na numer wynosi 8,1; odchylenie standardowematematykaOdchylenie standardowePierwiastek kwadratowy z wariancji; typowa odległość wyniku od wartości oczekiwanej.Czytaj całość → około 2,8. Jakiś numer wypadnie 15 razy, a jakiś 2, z samego przypadku, za każdym razem. Tablica wyników wyróżniająca „gorące” numery wyróżnia szczyt rozkładu normalnego. Laboratorium wyjaśnia, ile spinów trzeba, zanim gorący numermitGorący numerNumer, który ostatnio pojawiał się częściej, niż oczekiwano. Na kole rzetelnym niczego nie przewiduje.Czytaj całość → coś znaczy (tysiące, z jednego zidentyfikowanego koła).
Cała rzecz w niezależności
Seria dziesięciu czerwonych nie zwiększa prawdopodobieństwa czarnego i nie zwiększa też prawdopodobieństwa czerwonego. Oba wynoszą 18/37. Serie są cechą ciągów losowych i podejrzana byłaby raczej ich nieobecność: ciąg 200 spinów bez serii dłuższej niż cztery byłby znacznie mocniejszym dowodem manipulacji niż ciąg z serią dwunastu.
Wzór
Pytania
26 czarnych w Monte Carlo 18 sierpnia 1913 to ta słynna. 32 czerwone z rzędu zgłoszono w amerykańskim kasynie w 1943 roku. Obie zgadzają się z przypadkiem, biorąc pod uwagę, ile spinów kasyna rozgrywają.
Tak czy inaczej to 18/37. Stawiaj to, co mówi twój plan, albo nic.
Nie. Skrzywienie ujawnia się tym, że niektóre przegródkisprzętPrzegródkaJedno z 37 ponumerowanych zagłębień na rotorze. Także: komora, gniazdo.Czytaj całość → wypadają częściej w tysiącach spinów, a nie seriami koloru.
Matematyka na wesoło
Najpierw spróbuj rozwiązać je samodzielnie. Każde rozwiązanie jest zwinięte; rozwiń je, kiedy zechcesz.
Ile spinów koła europejskiego trzeba średnio, zanim każdy z 37 numerów wypadnie co najmniej raz?
Pokaż rozwiązanie
Odpowiedź Średnio około 155 spinów; mediana to 147.
Licz czas oczekiwania po jednym nowym numerze naraz. Pierwszy spin zawsze pokazuje nowy numer. Gdy znany jest już 1 numer, 36 przegródeksprzętPrzegródkaJedno z 37 ponumerowanych zagłębień na rotorze. Także: komora, gniazdo.Czytaj całość → na 37 jest nowych, więc na następny nowy numer czeka się średnio 37/36 spinu. Gdy znanych jest k numerów, trwa to 37/(37 − k).
Dodaj czasy oczekiwania: 37/37 + 37/36 + 37/35 + … + 37/1 = 37 × (1 + 1/2 + 1/3 + … + 1/37) ≈ 37 × 4,20 = 155,5 spinu.
Większość tego przypada na koniec. Sam ostatni numer zajmuje średnio 37 spinów, a ostatnie pięć około 85. Na kole amerykańskim ten sam rachunek daje około 161. To problem kolekcjonera kuponów; Wizard of Odds podaje tę samą średnią.
Ilu różnych numerów należy się spodziewać w 37 spinach koła europejskiego, po jednym spinie na każdą przegródkę?
Pokaż rozwiązanie
Odpowiedź Około 23,6. Mniej więcej jedna trzecia numerów, około 13, nie wypada wcale.
Weź jeden numer, na przykład 17. W każdym spinie nie wypada z prawdopodobieństwem 36/37, więc omija wszystkie 37 spinów z prawdopodobieństwem (36/37)³⁷ ≈ 0,363.
Każdy numer ma to samo prawdopodobieństwo, więc średnio brakuje 37 × 0,363 ≈ 13,4 numeru, a wypada 37 − 13,4 ≈ 23,6, wiele z nich dwa razy lub częściej.
Gracze w ruletkę nazywają to prawem trzecich. To żadne prawo, tylko arytmetyka powtórzeń: w serii tak długiej jak koło około jedna trzecia numerów się nie pojawia, na kole rzetelnym tak samo jak na każdym innym. Przy 38 przegródkach ten udział też wynosi (37/38)³⁸ ≈ 0,363; dla dużego koła ustala się w pobliżu 1/e ≈ 0,368.
Znajomy pokazuje ci dwie listy 50 kolorów, czerwonezakładCzerwoneSzansa prosta: zakład na 18 czerwonych numerów. Po francusku: rouge.Czytaj całość → lub czarnezakładCzarneSzansa prosta: zakład na 18 czarnych numerów. Po francusku: noir.Czytaj całość →, każda rzekomo z koła z pominiętymi zeramikołoZeroJedyna zielona przegródka, której nie pokrywa żadna szansa prosta ani zakład na tuzin lub kolumnę; źródło przewagi kasyna. Także: pojedyncze zero, 0.Czytaj całość →. Jedna zmienia kolor 25 razy, a jej najdłuższa seria ma sześć. Druga zmienia kolor 35 razy i nigdy nie ma serii dłuższej niż trzy. Która została wymyślona?
Pokaż rozwiązanie
Odpowiedź Druga. Prawdziwa lista zmienia kolor około 24 lub 25 razy. Lista z 35 zmianami trafia się mniej więcej raz na 500 list, a lista bez serii dłuższej niż trzy – mniej więcej dwa razy na 100.
Każdy kolejny kolor albo powtarza poprzedni, albo się zmienia, pół na pół, więc 49 okazji do zmiany daje średnio 24,5 zmiany, z wahaniem rzędu 3,5. Trzydzieści pięć to trzy takie kroki powyżej średniej; rzetelne koło daje tyle zmian mniej więcej raz na 500 list.
Serie mówią to samo. Prawdziwa lista 50 kolorów ma serię czterech lub więcej w około 98% przypadków, a jej najdłuższa seria ma najczęściej pięć lub sześć.
Ludzie poproszeni o wymyślenie losowej listy zmieniają kolor zbyt często, bo seria czterech lub pięciu wygląda dla nich jak wzór. Taylor (2021) pokazuje ten sam znak rozpoznawczy w listach rzutów monetą wymyślonych przez studentów: prawdziwa losowość ma więcej serii, niż ludzie się spodziewają.
Książka z opowieściami kasynowymi opisuje gracza, którego numer wypadł pięć razy z rzędu, i nazywa to rekordem. Jak rzadkie jest to na kole europejskim? I jak często powinno się to zdarzać gdzieś w jednym kasynie z 20 stołami, przy których kręci się po 40 spinów na godzinę, dzień i noc?
Pokaż rozwiązanie
Odpowiedź Wskazany numer pięć razy z rzędu: 1 na 69 milionów. Dowolny numer, który po pierwszym wypadnięciu powtórzy się jeszcze cztery razy: 1 na 1,87 miliona. W tym kasynie odbywa się około 7 milionów spinów rocznie, więc seria pięciu powinna się w nim zdarzać trzy lub cztery razy w roku.
Wskazany numer wypada z prawdopodobieństwem 1/37 w każdym spinie, więc pięć z rzędu ma prawdopodobieństwo (1/37)⁵ = 1 na 69 343 957. Ale nikt nie wskazuje numeru z góry. Cokolwiek wypadnie pierwsze, następne cztery spiny muszą to powtórzyć: (1/37)⁴ = 1 na 1 874 161.
20 stołów × 40 spinów × 24 godziny × 365 dni = 7 008 000 spinów rocznie. Każdy spin może rozpocząć serię, więc kasyno może się spodziewać 7 008 000/1 874 161 ≈ 3,7 serii pięciu rocznie.
Oficjalny rekord tego rodzaju nie istnieje i nie jest potrzebny: zdarzenie rzadkie przy jednym stole jest rutynowe w skali kasyna, a historie opowiada się o stole, przy którym się wydarzyło. Opowieść u Goldmana (2007) dotyczy koła z podwójnym zerem, gdzie liczby wynoszą 1 na 79 milionów i 1 na 2,09 miliona.
Chwila oddechu
Długie serie to tak wygląda losowość.
Źródła
- Feller, W. An Introduction to Probability Theory and Its Applications, Vol. 1.
- Ethier, S. N. The Doctrine of Chances: Probabilistic Aspects of Gambling.
- Taylor, D. G. Games, Gambling, and Probability: An Introduction to Mathematics, 2nd ed.