Nietypowe koła
Koła z 18, 25, 26, 31, 40, 49, 62, 73 lub 105 przegródkami. Niemal wszystkie wycenia jedna zasada: udział przegródek, które wypłaty pomijają.
Gdy wypłaty ustala się tak, jakby przegródek kasyna nie było, przewaga kasynamatematykaPrzewaga kasynaCzęść każdej stawki, którą kasyno średnio zatrzymuje: 2,70% w ruletce europejskiej.Czytaj całość → to liczba przegródek kasyna podzielona przez liczbę wszystkich przegródek, niezależnie od wielkości koła. Większość nietypowych kół trzyma się tej zasady. Ciekawe są te, które ją łamią: zaokrąglona wypłata, runda bonusowa albo zakład, który zostaje na stole przez kilka spinów.
Jedna zasada dla każdego koła
Ruletka europejskaodmianaRuletka europejskaKoło z jednym zerem, 37 przegródek, przewaga kasyna 2,70%. Model podstawowy w tym serwisie.Czytaj całość → płaci 35 do 1 tak, jakby koło miało 36 przegródeksprzętPrzegródkaJedno z 37 ponumerowanych zagłębień na rotorze. Także: komora, gniazdo.Czytaj całość →. Ma ich 37, a brakująca przegródka to przewaga 2,70%. Ta sama zasada działa na każdym kole: przy N numerach i Z przegródkach kasyna zakład na n numerów płacący (N − n)/n do 1 ma przewagę Z/(N + Z). Na tej zasadzie zbudowano lub zaproponowano koła każdej wielkości, a tabela układa je według ceny.
Większe może być tańsze
Gracze traktują koło z 62 przegródkami jako dłuższy strzał i zakładają, że gra jest gorsza. Przewaga zależy wyłącznie od udziału przegródek kasyna. Super 62 ma dwa zerakołoZeroJedyna zielona przegródka, której nie pokrywa żadna szansa prosta ani zakład na tuzin lub kolumnę; źródło przewagi kasyna. Także: pojedyncze zero, 0.Czytaj całość →, jak koło amerykańskie, ale to 2 z 62 przegródek, a nie 2 z 38, więc kosztuje 3,23% zamiast 5,26%. Roulette 73, z 72 numerami i jednym zerem, kosztowałaby 1,37%, mniej więcej tyle co szanse proste w ruletce francuskiej. Na małym kole zasada działa w drugą stronę. Bollman opisuje zabytkowe koło z 18 przegródkami: od 1 do 16 plus 0 i 00. Według zasady każdy zakład kosztowałby 2/18, czyli 11,11%: dwie przegródki kasyna to duża część małego koła.
Gdzie zasada się łamie: zaokrąglenia
WypłatapieniądzeWypłataTo, co zwraca wygrany zakład, podawane jako „X do 1” ponad zwróconą stawkę.Czytaj całość → musi być rozsądną kwotą w żetonachpieniądzeŻetonKrążek o ustalonej wartości, kładziony na polu zakładów, aby zawrzeć zakład. Także: cheque.Czytaj całość →, a gdy zasada daje ułamek, kasyno zaokrągla w dół. Zakład Avenue w 100 To 1 Roulette pokrywa 15 przegródek i powinien płacić 5⅔ do 1; płaci 11 do 2, co podnosi jego przewagę z 4,76% do 7,14%. Na Super 62 cyfrę 6 zawiera siedem numerów (6, 16, 26, 36, 46, 56, 60), a zakład na tę cyfrę płaci 7 do 1, co daje 9,68%, trzy razy więcej niż reszta pola zakładówsprzętPole zakładówWydrukowana na stole siatka do stawiania zakładów. Także: stół, filc, sukno.Czytaj całość →. Zakład White w Riverboat Roulette pokrywa 8 numerów i płaci 7 do 2; przy stole bez żetonów 50-centowych wygrany zakład $5 dostaje $17 zamiast $17,50, co podnosi przewagę z 5,26% do 7,37%. Amerykański zakład na pięć numerów, z przewagą 7,89%, to znany przypadek tego samego zjawiska.
Gdzie zasada się łamie: bonusy
Fast Action Roulette, uruchomiona w Marina Bay Sands w 2020 roku, korzysta z prawdziwego koła z czterema zerami, które samo w sobie kosztowałoby 10%. Przy każdym spinie losowo zapala się dziesięć numerów Bonus. Zakład na jeden numerzakładJeden numer (straight up)Pojedynczy numer, płaci 35:1.Czytaj całość → płaci 35 do 1, 40 do 1, jeśli jego numer jest numerem Bonus, i 80 do 1, jeśli cały jego rząd czterech numerów to Bonus, co sprowadza przewagę do 6,65%. Pozostałe trzy zakłady tej gry kosztują znacznie więcej. Double Bonus Spin firmy IGT dodaje do koła amerykańskiego żółtą przegródkę Bonus o szerokości półtorej przegródki; gdy kulkasprzętKulkaMała kulka wypuszczana na tor przeciwnie do ruchu rotora. Współczesne kulki są z ivorine albo teflonu i mają 18–21 mm.Czytaj całość → w niej wyląduje, każdy zakład dostaje dwa darmowe spiny. Według naszych obliczeń obniża to przewagę do wartości od 1,94% (jeden numer) do 2,73% (szanse proste), poniżej zwykłego koła amerykańskiego. Bollman (2021) podaje dla tej gry od 3% do 16%; jego uproszczony wzór zawiera błąd algebraiczny, a dla szans prostych (zakład 1:1)zakładSzansa prostaCzerwone/czarne, nieparzyste/parzyste, wysokie/niskie. 18 numerów, płaci 1:1.Czytaj całość → wynika z niego, że darmowe spiny tracą więcej niż stawkę, co jest niemożliwe.
Gdzie zasada się łamie: zakłady, które zostają na stole
Riverboat Roulette (2012) nadała 32 numerom koła amerykańskiego drugi kolor. White oznacza cztery przegródki wokół każdego zera (1, 2, 9, 10, 13, 14, 27, 28). Zakład na grupę kolorów wygrywa, jeśli jeden z jej numerów wypadnie przed którymkolwiek z ośmiu numerów White. Numer White to „White Out”: przegrywają wtedy wszystkie zakłady na kolory. Każdy inny numer oznacza zwrot stawki: zakład zostaje na stole, a między spinami można go zdjąć albo podwyższyć. Teal pokrywa trzy numery i płaci 2 do 1. Na rozstrzygnięty zakład traci 2/11 stawki, 18,18%. Na spin traci 2/38, znane 5,26%, ponieważ przeciętny zakład zostaje na stole przez 38/11, czyli około 3,5 spinu.
Koło, które Thorp umiał przewidzieć: Big Six
Big Six, czyli koło fortuny, to duże pionowe koło z 54 polami: 24 płacą 1 do 1, 15 płaci 2 do 1, siedem 5 do 1, cztery 10 do 1, dwa 20 do 1, a dwa pola z logo płacą 40 do 1. Nie ma zera; kasyno bierze swoją część, zaniżając wypłaty, a przewaga wynosi od 11,1% na polach płacących 1 do 1 aż do 24,1% na polach z logo. W 1961 Thorp zbudował do niego urządzenie przewidujące wielkości pudełka zapałek, uruchamiane przełącznikiem naciskanym palcem stopy, a w 1981, mierząc zegarkiem na ręku czas jednego obrotu koła w kasynie, stwierdził, że zwykle potrafi wskazać miejsce zatrzymania z dokładnością do pięciu pól. Stawianie tylko na wysoko płatne pola w pobliżu przewidywanego miejsca dałoby około +211%, gdyby zakłady przyjmowano po zakręceniu kołem. Nie przyjmuje się ich, a koło obraca się powoli i na oczach wszystkich, więc spóźniony zakład byłby oczywisty; Thorp pisał, że przy tej grze dzieje się za mało, żeby go ukryć.
Dlaczego tak niewiele się przyjmuje
Profesjonalne koło kosztuje tysiące dolarów, a koło z nietypową liczbą przegródek trzeba zrobić na zamówienie. Dlatego większość nowych gier ruletkowych zachowuje standardowe koło i dodaje zakłady, i dlatego strona o zakładach pobocznych jest dłuższa od tej. Koło z orłem z 31 przegródkami, znane w XIX-wiecznej Ameryce, z przewagą 12,90% na jednym numerze i 9,68% na wszystkim innym, zginęło przez własną cenę. Pomysł trzeciej przegródki kasyna wrócił w 2016 roku na kole z 39 przegródkami, gdzie kosztuje 7,69%.
Pytania
Samo w sobie nie. Przewaga to udział przegródek kasyna: 1 na 73 jest tańsze niż 1 na 37.
Roulette 73, z przewagą 1,37%, ale to opublikowany projekt, a nie stół, który łatwo znajdziesz. Wśród kół rzeczywiście oferowanych graczom następne po europejskim i francuskim jest Super 62 z przewagą 3,23%.
Za bonus trzeba zapłacić, zwykle obniżeniem bazowej wypłaty albo osobnym zakładem z wysoką przewagą.
Matematyka na wesoło
Najpierw spróbuj rozwiązać je samodzielnie. Każde rozwiązanie jest zwinięte; rozwiń je, kiedy zechcesz.
Royal Roulette, opracowana w Australii, ma 50 przegródeksprzętPrzegródkaJedno z 37 ponumerowanych zagłębień na rotorze. Także: komora, gniazdo.Czytaj całość →: 48 kart od 2 do króla plus jednego asa i jednego jokera. Pojedyncza karta płaci 47 do 1, dwie karty 23 do 1, trzy 15 do 1, cztery 11 do 1, sześć 7 do 1, osiem 5 do 1, dwanaście 3 do 1, szesnaście 2 do 1, a dwadzieścia cztery 1 do 1. Jaka reguła daje te wypłatypieniądzeWypłataTo, co zwraca wygrany zakład, podawane jako „X do 1” ponad zwróconą stawkę.Czytaj całość → i ile kosztuje każdy zakład?
Pokaż rozwiązanie
Odpowiedź Każdy zakład na n kart płaci (48 − n)/n do 1, więc każdy zakład kosztuje 2/50 = 4%.
Sprawdź regułę na kilku zakładach: 47/1 = 47, 36/12 = 3, 32/16 = 2, 24/24 = 1. Pasuje do wszystkich dziewięciu. Reguła wycenia koło tak, jakby miało 48 przegródek, więc as i joker to dwie przegródki kasyna, dokładnie jak 0 i 00 na kole amerykańskim.
Dwie przegródki kasyna na 50 dają przewagę 4%. Wersja „europejska” usuwa jokera i zostawia wypłaty: jedna przegródka kasyna na 49, przewaga 2,04%.
Super 62 ma zakład na to, że wybrana cyfra wystąpi w wygrywającym numerze. Zaprojektuj taki sam zakład dla zwykłego koła amerykańskiego. Ile spośród numerów od 1 do 36 zawiera każdą cyfrę i jakie wypłaty zachowałyby zwykłe 5,26%?
Pokaż rozwiązanie
Odpowiedź Równe wypłaty (11 do 1 i 8 do 1) dostają tylko cyfry występujące w 3 lub 4 numerach. Cyfr 1, 2 i 3 nie da się wypłacić uczciwie w całych żetonachpieniądzeŻetonKrążek o ustalonej wartości, kładziony na polu zakładów, aby zawrzeć zakład. Także: cheque.Czytaj całość →.
Policz numery. Cyfra 1 występuje w 1, od 10 do 19, 21 i 31: 13 numerów. Cyfra 2 też występuje w 13 numerach, a cyfra 3 w 10. Cyfry 4, 5 i 6 występują w czterech numerach każda (4, 14, 24, 34), a 7, 8 i 9 w trzech każda.
Zakład na n numerów zachowuje przewagę z koła amerykańskiego, jeśli płaci (36 − n)/n do 1. To daje 8 do 1 za cztery numery i 11 do 1 za trzy, obie w całych liczbach. Dla 13 numerów wychodzi 23/13, około 1,77 do 1, a dla 10 numerów 2,6 do 1. Zaokrąglij 1,77 w dół do 7 do 4, a zakład kosztuje 5,92%; zaokrąglij w górę do 2 do 1, a gracz ma przewagę 2,63%. Zaokrąglenie 2,6 w dół do 5 do 2 daje 7,89%.
Cyfra 0 to kwestia wyboru: same 10, 20 i 30 płacą 11 do 1 przy 5,26%; dodaj 0 i 00, a powstaje zakład na pięć numerów, 6 do 1 przy 7,89%, jak basketzakładPierwsze czteryNa kole z jednym zerem: 0, 1, 2, 3 jednym żetonem, płaci 8:1. Także: basket, quatre premiers.Czytaj całość →.
cyfranumerywedług regułymogłoby płacićprzewaga kasyna1, 2131,77 do 17 do 45,92%3102,6 do 15 do 27,89%4, 5, 648 do 18 do 15,26%7, 8, 9311 do 111 do 15,26%100 To 1 Roulette płaci za większość zakładów (100 − n)/n do 1, na kole ze 100 numerami i 5 symbolami kasyna. Jej zakłady obejmują 1, 2, 3, 4, 5, 10, 15, 20 lub 50 przegródek i płacą 100, 49, 32, 24, 19, 9, 11 do 2, 4 oraz 1 do 1. Zakład na jeden numerzakładJeden numer (straight up)Pojedynczy numer, płaci 35:1.Czytaj całość → i 15-przegródkowy Avenue łamią regułę. Który jeszcze zakład ją łamie i ile kosztuje?
Pokaż rozwiązanie
Odpowiedź Zakład na trzy przegródki: według reguły 32⅓ do 1, płaci 32 do 1 i kosztuje 5,71% zamiast 4,76%.
Sprawdź każdą wypłatę z regułą: 98/2 = 49, 96/4 = 24, 95/5 = 19, 90/10 = 9, 80/20 = 4 i 50/50 = 1 pasują. Dla trzech przegródek reguła daje 97/3 = 32⅓, czego żaden żeton nie wypłaci, więc zaokrągla się to w dół do 32.
Zakład wygrywa 3 razy na 105 spinów i wtedy zwraca 33 jednostkipieniądzeJednostkaStawka bazowa, w której liczy system albo gracz. Progresje opisuje się w jednostkach, żeby pasowały do każdego stołu.Czytaj całość → razem ze stawką: 3 × 33 = 99 jednostek zwrotu na każde 105 postawionych, strata 6/105 = 5,71%.
Roulette 73, opublikowany projekt, ma 72 numery i jedno zerokołoZeroJedyna zielona przegródka, której nie pokrywa żadna szansa prosta ani zakład na tuzin lub kolumnę; źródło przewagi kasyna. Także: pojedyncze zero, 0.Czytaj całość →, a każdy zakład płaci (72 − n)/n do 1. Jej 24 szare numery można obstawić 14 żetonami: 4 zakładami na jeden numer i 10 splitamizakładSplitDwa sąsiednie numery, płaci 17:1.Czytaj całość →. Ile kosztuje ten zakład z 14 żetonów?
Pokaż rozwiązanie
Odpowiedź 1,37% z 14 żetonów, jak każdy inny zakład na tym kole.
Długa droga: zakład na jeden numer płaci 71 do 1, a split 35 do 1. Jeśli wypadnie jeden z 4 numerów obstawionych pojedynczo, wygrywasz 71 i tracisz pozostałe 13 żetonów: +58. Jeśli wypadnie jeden z 20 numerów ze splitów: +35 − 13 = +22. Na pozostałych 49 przegródkach tracisz wszystkie 14. Średnio na 73 spiny: 4 × 58 + 20 × 22 − 49 × 14 = 232 + 440 − 686 = −14 jednostek, czyli 1/73 każdego żetonu.
Krótka droga: wartości oczekiwanematematykaWartość oczekiwanaŚredni wynik na zakład w długim okresie. −1/37 stawki dla każdego standardowego zakładu w ruletce europejskiej.Czytaj całość → się sumują. Każdy żeton to zwykły zakład, który traci 1/73 swojej wartości, więc 14 żetonów traci 14/73. Łączenie zakładów zmienia rozkład wyników, nigdy ich koszt.
Super 62 ma 60 numerów, 0 i 00 i płaci (60 − n)/n do 1. Jego projektanci rozrysowali je także z jedną, trzema i czterema przegródkami kasyna. Alphabetic Roulette płaci (24 − n)/n do 1 na 25 przegródkach i ma wariant, w którym Y i Z mają osobne przegródki. Wyceń wszystkie pięć.
Pokaż rozwiązanie
Odpowiedź Z jednym do czterech zer: 1,64%, 3,23%, 4,76% i 6,25%. Alphabetic z osobnymi Y i Z: 7,69%.
Każde z tych kół zachowuje swoje wypłaty i zmienia tylko liczbę przegródek kasyna, więc przewaga kasyna to przegródki kasyna ÷ wszystkie przegródki.
Jedno zero, 61 przegródek: 1/61 = 1,64%. Dwa, 62 przegródki: 2/62 = 3,23%. Trzy, 63 przegródki: 3/63 = 4,76%. Cztery, 64 przegródki: 4/64 = 6,25%. Każde dodane zero kosztuje mniej więcej półtora punktu procentowego.
Alphabetic płaci tak, jakby miała 24 litery. Gdy Y i Z dzielą przegródkę, kasyno ma 1 na 25, 4%. Gdy Y i Z są osobno, ma 2 na 26, 7,69%, tyle co koło z potrójnym zerem. Podział jednej przegródki na dwie prawie podwoił cenę.
kołoprzegródkiprzegródki kasynaprzewaga kasyna60 numerów, jedno zero6111,64%Super 626223,23%60 numerów, trzy zera6334,76%Super 646446,25%Alphabetic2514,00%Alphabetic, Y i Z osobno2627,69%Zabytkowe koło ma 18 przegródek: od 1 do 16, 0 i 00. Numery nieparzyste i 0 są czerwonezakładCzerwoneSzansa prosta: zakład na 18 czerwonych numerów. Po francusku: rouge.Czytaj całość →, parzyste i 00 czarnezakładCzarneSzansa prosta: zakład na 18 czarnych numerów. Po francusku: noir.Czytaj całość →, a 16 numerów leży na polu zakładówsprzętPole zakładówWydrukowana na stole siatka do stawiania zakładów. Także: stół, filc, sukno.Czytaj całość → 4 na 4. Zaprojektuj tabelę wypłatpieniądzeTabela wypłatLista tego, ile płaci każdy zakład lub wynik. W automatach i zakładach pobocznych to w niej ustala się przewagę kasyna.Czytaj całość →, która każdemu zakładowi daje tę samą przewagę kasyna. I dlaczego 0 musi przegrywać zakład na czerwone, choć samo jest czerwone?
Pokaż rozwiązanie
Odpowiedź Płać (16 − n)/n do 1: 15 do 1 za jeden numer, 7 za dwa, 3 za cztery, 1 za osiem. Każdy zakład kosztuje 11,11%. Gdyby 0 wygrywało zakład na czerwone, czerwone byłoby zakładem sprawiedliwym.
Wyceń koło tak, jakby 0 i 00 nie było. Zakład na n numerów wygrywa n razy na 18 i płaci (16 − n)/n do 1, więc zwraca 16 jednostek, razem ze stawką, na każde 18 postawionych. Każdy zakład kosztuje 2/18, czyli 11,11%.
Naturalne zakłady tego pola zakładów wychodzą w całych liczbach: jeden numer 15 do 1, dwa sąsiednie 7 do 1, rząd albo kolumnazakładKolumnaDwanaście numerów w jednej pionowej kolumnie pola zakładów, płaci 2:1.Czytaj całość → czterech numerów 3 do 1, a dwa rzędy albo ósemka nieparzystych, parzystych, niskich lub wysokich 1 do 1. Zakład na trzy numery wymagałby 4⅓ do 1; zaokrąglony w dół do 4 do 1 kosztuje 16,67%.
Czerwone obejmuje osiem numerów nieparzystych. Gdyby 0, jako czerwone, też wygrywało zakład na czerwone, czerwone obejmowałoby 9 z 18 przegródek przy 1 do 1: gra sprawiedliwamatematykaGra sprawiedliwaGra, w której żadna strona nie ma przewagi: każdy zakład ma wartość oczekiwaną równą zero.Czytaj całość → bez żadnej przewagi. Przegródki kasyna zarabiają swoją przewagę tylko dlatego, że przegrywają każdy zakład oprócz zakładu na nie same.
Chwila oddechu
Policz przegródki kasyna, a potem szukaj zaokrągleń.
Źródła
- Bollman, M. Mathematics of the Big Four Casino Table Games: Blackjack, Baccarat, Craps, & Roulette.
- Ethier, S. N. The Doctrine of Chances: Probabilistic Aspects of Gambling.
- Thorp, E. O. The Mathematics of Gambling.
- Thorp, E. O. “The invention of the first wearable computer.”