Złudzenie gracza
Przekonanie, że wynik „musi wypaść”, bo od jakiegoś czasu się nie pojawił.
Po dziesięciu czerwonych prawdopodobieństwo czarnego nadal wynosi 18/37. Koło nie prowadzi rejestru i nic nie jest dłużne.
Złudzenie
Jeśli czerwonezakładCzerwoneSzansa prosta: zakład na 18 czerwonych numerów. Po francusku: rouge.Czytaj całość → wypadło dziesięć razy, wielu graczy czuje, że czarnezakładCzarneSzansa prosta: zakład na 18 czarnych numerów. Po francusku: noir.Czytaj całość → „musi wypaść”, i stawia zgodnie z tym. Inni czują, że czerwone jest „gorące”, i stawiają na nie. Obie grupy rozumują od sekwencji, która już się skończyła, do spinu, który jeszcze się nie odbył. KulkasprzętKulkaMała kulka wypuszczana na tor przeciwnie do ruchu rotora. Współczesne kulki są z ivorine albo teflonu i mają 18–21 mm.Czytaj całość → nie wie, jakie były ostatnie dziesięć spinów; przegródkisprzętPrzegródkaJedno z 37 ponumerowanych zagłębień na rotorze. Także: komora, gniazdo.Czytaj całość → mają taki sam rozmiar jak godzinę temu; prawdopodobieństwomatematykaPrawdopodobieństwoMiara możliwości wystąpienia wyniku, od 0 do 1 albo od 0% do 100%. Jeden numer: 1/37 = 2,70%.Czytaj całość → czarnego wynosi 18/37, jak zawsze.
Dlaczego wydaje się prawdziwe
W długim okresie proporcje czerwonego i czarnego rzeczywiście zbiegają do 18/37 każda. Gwarantuje to prawo wielkich liczbmatematykaPrawo wielkich liczbŚrednia niezależnych wyników zbiega do wartości oczekiwanej wraz ze wzrostem liczby prób.Czytaj całość →. Ale zbieżność zachodzi przez rozcieńczenie, a nie przez korektę: po kolejnych 1000 spinów dziesięć dodatkowych czerwonych to błąd zaokrąglenia w proporcji, nie dlatego, że czarne nadrobiło, lecz dlatego, że próba urosła. Nie ma mechanizmu, który zwiększałby prawdopodobieństwo czarnego, a prawo wielkich liczb żadnego nie wymaga.
Monte Carlo, 18 sierpnia 1913
Czarne wypadło 26 razy z rzędu przy stole w Casino de Monte-Carlo. Mniej więcej od piętnastego czarnego gracze rzucili się na czerwone, podwajając i podwajając ponownie, a każdy spin był „pewniejszy” od poprzedniego. Kasyno wygrało miliony franków. Seria miała prawdopodobieństwo 1 na 137 milionów, licząc od pierwszego czarnego, a prawdopodobieństwo, że kiedyś gdzieś w kasynach świata się zdarzy, było praktycznie równe jeden. To dlatego złudzenie gracza nazywa się też złudzeniem Monte Carlo.
Nic niezwykłego. Zdarza się raz na 44.
Gracze zaczynają zauważać. Czerwone „musi wypaść”.
Stół jest zatłoczony. Stawki na czerwone są podwajane po każdej przegranej.
Fortuny stracone. Każde kolejne czarne sprawia, że czerwone wydaje się pewniejsze.
Seria się kończy. Kasyno wygrało miliony franków od ludzi, którzy stawiali przeciw serii, która nie mogła „wiedzieć”, że jest serią.
Gorąca ręka
Stawianie na kolor, bo trwa jego seria, to ten sam błąd odwrócony: oczekuje się, że seria potrwa dalej, a nie że się skończy. Psychologowie nazywają to gorącą rękąmitGorąca rękaPrzekonanie, że seria wygranych albo jednego wyniku zwiększa prawdopodobieństwo kolejnego. Przy kole ruletki to złudzenie gracza odwrócone.Czytaj całość →, od badania Gilovicha, Vallone'a i Tversky'ego z 1985 roku, które szukało serii w rzutach koszykarzy i nie znalazło żadnych ponad to, co daje przypadek. W 2018 roku Miller i Sanjurjo pokazali, że sam test był przechylony: w krótkim zapisie odsetek trafień tuż po trafieniu wychodzi średnio niższy niż ogólna skuteczność zawodnika, więc gracz zupełnie bez gorącej ręki wygląda na lekko „zimnego”. Po korekcie te same dane pokazują umiarkowaną gorącą rękę. Człowiek może się rozgrzać; koło nie ma formy, w której mogłoby być. Niektórzy gracze żywią oba przekonania naraz: seria trwa, aż stanie się „zbyt długa”, a wtedy się kończy. Na rzetelnym kole każda wersja ma tę samą wartość oczekiwanąmatematykaWartość oczekiwanaŚredni wynik na zakład w długim okresie. −1/37 stawki dla każdego standardowego zakładu w ruletce europejskiej.Czytaj całość → co wybór koloru rzutem monetą: −2,70% stawki.
Przy prawdziwym stole
Croson i Sundali (2005) obejrzeli 18 godzin nagrań z kamer monitoringu jednego stołu z podwójnym zeremkołoZeroJedyna zielona przegródka, której nie pokrywa żadna szansa prosta ani zakład na tuzin lub kolumnę; źródło przewagi kasyna. Także: pojedyncze zero, 0.Czytaj całość → w dużym kasynie w Reno: 139 graczy, 24 131 zakładów. Na szansach prostychzakładSzansa prostaCzerwone/czarne, nieparzyste/parzyste, wysokie/niskie. 18 numerów, płaci 1:1.Czytaj całość → gracze dzielili się mniej więcej po równo na tych, którzy szli za krótkimi seriami, i tych, którzy stawiali przeciw nim. Po pięciu jednakowych wynikach z rzędu skłaniali się ku stawianiu przeciw serii, a po sześciu lub więcej 85% ich zakładów było po przeciwnej stronie. Ci sami gracze ulegali gorącej ręce wobec samych siebie: po wygranej na numerach obstawiali w następnym spinie średnio 13,6 numeru, wobec 9,2 po przegranej. Ich koło nie wykazywało żadnych oznak skrzywienia, więc nic z tego nie zmieniało tego, czego którykolwiek z nich mógł się spodziewać.
Poza kasynem
Ta sama skłonność pojawia się tam, gdzie zapadają prawdziwe decyzje. Clotfelter i Cook (1993) prześledzili codzienną loterię liczbową w stanie Maryland: kwota stawiana na numer gwałtownie spadała, gdy tylko został wylosowany, i wracała do normy dopiero po miesiącach, choć losowanie nie ma pamięci. Chen, Moskowitz i Shue (2016) znaleźli to samo u profesjonalistów. Sędziowie rozpatrujący wnioski o azyl w Stanach Zjednoczonych byli nawet o 3,3 punktu procentowego bardziej skłonni odrzucić wniosek, jeśli poprzedni rozpatrzyli pozytywnie. Sędziowie baseballowi o 1,5 punktu rzadziej uznawali strike tuż po uznaniu strike'u, a przy rzutach na granicy strefy efekt był ponad dwa razy większy. W eksperymencie terenowym z analitykami kredytowymi opłacanymi stałą stawką w ten sposób odwracało się do 9% decyzji. Sprawy napływały w losowej kolejności, więc ostatnia decyzja nic nie mówiła o następnej, tak jak ostatni spin nic nie mówi o następnym.
Odwrotne złudzenie gracza
Filozof Ian Hacking (1987) nazwał trzecią wersję. Ktoś wchodzi do pokoju, widzi, jak para kości pokazuje dwie szóstki, i wnioskuje, że musiano nimi rzucać już wiele razy. Każdy rzut z równym prawdopodobieństwem daje dwie szóstki, czy to pierwszy tego wieczoru, czy tysięczny, więc ten widok nic nie mówi o tym, jak długo trwa gra. W ruletce to gracz, który podchodzi do tablicy wyników pokazującej osiem czerwonych i uznaje, że stół musiał kręcić od godzin, żeby je wyprodukować. Zwykłe złudzenie wczytuje przeszłość w następny spin; to wczytuje rzadki widok w przeszłość, której nikt nie widział.
Psycholog, który w to wierzył
Złudzenie miało uczonych obrońców. Niemiecki psycholog Karl Marbe przejrzał cztery rejestry po 49 152 urodzenia każdy, stwierdził, że najdłuższa seria chłopców lub dziewczynek z rzędu liczyła 17, i wywnioskował, że długie serie są rzadsze, niż pozwala przypadek, a więc seria sprawia, że drugi wynik staje się bardziej prawdopodobny. Sam przypadek mówi co innego: wśród 196 608 urodzeń seria 17 lub dłuższa pojawia się mniej więcej cztery razy na pięć. Marbe znalazł dokładnie to, jak wygląda ciąg losowy. Epstein (2013) opisuje ten przypadek; Prawdopodobieństwo serii pokazuje wersję ruletkową.
Gdzie złudzenie nie obowiązuje
Gdyby koło było fizycznie skrzywione, dawne spiny byłyby informacyjne, bo byłyby dowodem o przegródkach, a nie o szczęściu. To temat Laboratorium i żeby cokolwiek powiedzieć, trzeba tysięcy spinów z jednego zidentyfikowanego koła. Przy serii dziesięciu czerwonych na nieznanym kole wyjaśnienie skrzywieniem jest znacznie mniej prawdopodobne niż przypadek.
Pytania
Nie. Dotyczy każdego niezależnego, powtarzanego zdarzenia: kości, monet, numerów loterii.
Proporcje będą bliskie. Twój wynik nadal wyniesie około −2,70% tego, co postawisz.
Nie ma żadnego prawa średnich. Jest prawo wielkich liczb i działa przez rozcieńczenie.
Matematyka na wesoło
Najpierw spróbuj rozwiązać je samodzielnie. Każde rozwiązanie jest zwinięte; rozwiń je, kiedy zechcesz.
Po 10 rzutach moneta pokazała 7 orłów i 3 reszki. Po 1000 rzutach pokazuje 517 orłów i 483 reszki. Czy reszki nadrobiły straty?
Pokaż rozwiązanie
Odpowiedź Nie. Różnica wzrosła z 4 do 34. Tylko proporcja zbliżyła się do równowagi.
Stosunek orłów do reszek spadł z 7/3, około 2,33, do 517/483, około 1,07. To działa prawo wielkich liczbmatematykaPrawo wielkich liczbŚrednia niezależnych wyników zbiega do wartości oczekiwanej wraz ze wzrostem liczby prób.Czytaj całość →.
Różnica między nimi wzrosła, z 4 do 34. Przy rzetelnej monecie różnica rzędu 30 po 1000 rzutów to nic niezwykłego: typowa różnica rośnie mniej więcej jak pierwiastek kwadratowy z liczby rzutów, a proporcja zbliża się do 1.
Nic nie ściągnęło reszek z powrotem. Początkowa nadwyżka orłów rozmyła się w kolejnych 990 rzutach, a nie została wyrównana.
Rzuć monetą cztery razy i patrz tylko na rzuty następujące bezpośrednio po orle. Jaka część z nich to orły? Oblicz to dla każdego z 16 możliwych ciągów i weź średnią z tych udziałów. Czy wychodzi 50%?
Pokaż rozwiązanie
Odpowiedź Nie. Wychodzi 17/42, około 40,5%. Liczona w ten sposób rzetelna moneta wydaje się „stygnąć” po orle.
Wypisz 16 ciągów (H to orzeł, T to reszka). Dwa z nich, TTTT i TTTH, nie mają orła wśród pierwszych trzech rzutów, więc po orle nic nie następuje; zostaje 14.
W każdym weź rzuty następujące po orle i sprawdź, jaka ich część to orły. HHHH daje 3 z 3. HHHT daje 2 z 3. HTHT daje 0 z 2. Po przejściu wszystkich 14: sześć ciągów daje 0, cztery dają 1/2, jeden daje 2/3, a trzy dają 1 (HHHH, THHH i TTHH).
Dodaj udziały: 4 × 1/2 + 2/3 + 3 = 17/3. Podziel przez 14: 17/42 ≈ 40,5%.
Żaden rzut nie faworyzuje reszki; każdy to 50 na 50. Przechył bierze się z uśredniania ciąg po ciągu: ciąg pełen orłów ma wiele rzutów do obejrzenia, ale liczy się raz, tak samo jak ciąg z jednym takim rzutem. Miller i Sanjurjo (2018) pokazali, że badanie gorącej ręki z 1985 roku mierzyło koszykarzy właśnie w ten sposób, więc zawodnicy, którzy wydawali się nie bardziej „seryjni”, niż daje przypadek, w rzeczywistości byli nieco bardziej.
Chwila oddechu
Rozcieńczenie, nie korekta. Koło nic nie jest dłużne.
Źródła
- Feller, W. An Introduction to Probability Theory and Its Applications, Vol. 1.
- Schwartz, D. G. Roll the Bones: The History of Gambling.
- Ethier, S. N. The Doctrine of Chances: Probabilistic Aspects of Gambling.
- Epstein, R. A. The Theory of Gambling and Statistical Logic, 2nd ed.
- Croson, R. & Sundali, J. “The gambler’s fallacy and the hot hand: empirical data from casinos.”
- Chen, D. L., Moskowitz, T. J. & Shue, K. “Decision making under the gambler’s fallacy: evidence from asylum judges, loan officers, and baseball umpires.”
- Clotfelter, C. T. & Cook, P. J. “The ‘gambler’s fallacy’ in lottery play.”
- Gilovich, T., Vallone, R. & Tversky, A. “The hot hand in basketball: on the misperception of random sequences.”
- Miller, J. B. & Sanjurjo, A. “Surprised by the hot hand fallacy? A truth in the law of small numbers.”
- Hacking, I. “The inverse gambler’s fallacy: the argument from design. The anthropic principle applied to Wheeler universes.”