Zadanie: urodzinowe koło
Ile spinów, zanim jakiś numer się powtórzy? Znacznie mniej, niż zgaduje większość ludzi.
Problem urodzin na kole z 37 przegródkamisprzętPrzegródkaJedno z 37 ponumerowanych zagłębień na rotorze. Także: komora, gniazdo.Czytaj całość →: już po 8 spinach jest więcej niż równe prawdopodobieństwo, że jakiś numer wypadł dwa razy. Gracze czytają powtórzenia jak wzory; to oczekiwane zachowanie rzetelnego koła.
Zadanie
Zakręć rzetelnym kołem europejskim. Ile spinów, zanim prawdopodobieństwomatematykaPrawdopodobieństwoMiara możliwości wystąpienia wyniku, od 0 do 1 albo od 0% do 100%. Jeden numer: 1/37 = 2,70%.Czytaj całość →, że co najmniej dwa spiny pokazały ten sam numer, przekroczy jedną drugą? Większość graczy zgaduje gdzieś około 18 lub 19, czyli połowę z 37. Odpowiedź to 8.
Rozwiązanie
Oblicz prawdopodobieństwo braku powtórzenia i odejmij je od jedności. Po k spinach p(wszystkie różne) = (37/37)(36/37)(35/37)…((38 − k)/37). Dla k = 8: 1 × 0,973 × 0,946 × 0,919 × 0,892 × 0,865 × 0,838 × 0,811 ≈ 0,44, więc p(jakieś powtórzenie) ≈ 0,56. Dla k = 14 to 0,93; dla k = 20 to 0,996. Intuicja zawodzi, bo liczba par spinów rośnie jak k², a każda para może się zgodzić.
Dlaczego to ważne przy stole
Tablica wyników z ostatnich 20 numerów prawie zawsze pokaże co najmniej jedno powtórzenie, często dwa lub trzy. Gracze widzą „17 wypadło dwa razy w dziesięciu spinach” i wnioskują, że 17 jest gorące; arytmetyka urodzin mówi, że powtórzenie w ciągu dziesięciu spinów zdarza się w 74% przypadków, a powtórzony numer jest losowy. Wzór jest prawdziwy; jego znaczenie nie.
Zadanie uzupełniające
Ile spinów, zanim konkretny numer, powiedzmy 17, wypadnie dwa razy? To inne pytanie ze znacznie większą odpowiedzią: średnio trzeba czekać 74 spiny, a prawdopodobieństwo dwóch 17 w ciągu 20 spinów wynosi około 10%. Różnica między „jakiś numer się powtarza” (8 spinów) a „ten numer się powtarza” (74 spiny) to cała różnica między wzorem, który zauważasz po fakcie, a przewidywaniem, które robisz z góry.
Wypróbuj
Rozegraj dziesięć spinów w grze demo i spójrz na historię. Zwykle będzie powtórzenie. Zrób to jeszcze raz. Powtórzony numer będzie inny. Zrób to dziesięć razy i zobaczysz problem urodzinmatematykaProblem urodzinIle osób potrzeba, by dwie z nich prawdopodobnie miały urodziny tego samego dnia, albo ile spinów, zanim jakiś numer prawdopodobnie się powtórzy. Na kole z 37 przegródkami wystarczy 8 spinów, by prawdopodobieństwo przekroczyło połowę.Czytaj całość →; zrób to tysiąc razy (symulatory potrafią) i go zmierzysz.
Wzór
Pytania
Dokładnie, tylko z 37 przegródkami zamiast 365 dni. 23 osoby dają 50% dla urodzin; 8 spinów daje 56% dla koła.
50% po około 19 spinach. Nadal rutyna.
Nie. Sugerowałyby je tysiące spinów z jednego koła; powtórzenie nigdy.
Matematyka na wesoło
Najpierw spróbuj rozwiązać je samodzielnie. Każde rozwiązanie jest zwinięte; rozwiń je, kiedy zechcesz.
Tablica wyników przy kole amerykańskim pokazuje ostatnie 16 spinów. Jakie jest prawdopodobieństwo, że żaden numer nie pojawia się na niej dwa razy?
Pokaż rozwiązanie
Odpowiedź Około 2,5%: mniej więcej 39 tablic na 40 pokazuje co najmniej jedno powtórzenie.
Idź spin po spinie. Pierwszy spin może być dowolny. Drugi musi go ominąć: 37 możliwości na 38. Trzeci musi ominąć oba: 36 na 38. Szesnasty musi ominąć piętnaście numerów: 23 na 38.
Pomnóż: 38/38 × 37/38 × 36/38 × … × 23/38 ≈ 0,0246.
To tablica bez powtórzenia jest rzadkością. Tablica z powtórzeniem nic nie mówi o kole.
Jakie jest prawdopodobieństwo, że w dziesięciu spinach na kole europejskim 17 wypadnie dokładnie pięć razy? Że jakiś numer, dowolny, wypadnie pięć lub więcej razy? I że jakiś numer wypadnie co najmniej trzy razy w czterech spinach?
Pokaż rozwiązanie
Odpowiedź 17 dokładnie pięć razy: 1 na 315 576. Jakiś numer pięć lub więcej razy: około 1 na 8333. Jakiś numer trzy lub więcej razy w czterech spinach: 1 na 349.
17 pięć razy: wybierz, które pięć z dziesięciu spinów, na 252 sposoby, każdy z prawdopodobieństwem (1/37)⁵ × (36/37)⁵. Razem 1 na 315 576.
Jakiś numer: każdy z 37 numerów ma prawdopodobieństwo 1 na 308 325, że trafi pięć lub więcej razy, co daje 37 na 308 325, czyli 1 na 8333. Rzadki przypadek dwóch numerów z pięcioma trafieniami każdy jest liczony dwa razy, ale jego odjęcie nic nie zmienia przy tej dokładności.
Trzy razy w czterech spinach: dla jednego numeru 4 × 36 + 1 = 145 z 37⁴ możliwych wyników; dla dowolnego z 37 numerów 145/37³ = 1 na 349.
Wizard of Odds odpowiedział na wersje tych pytań dla koła z podwójnym zeremkołoZeroJedyna zielona przegródka, której nie pokrywa żadna szansa prosta ani zakład na tuzin lub kolumnę; źródło przewagi kasyna. Także: pojedyncze zero, 0.Czytaj całość →; nasze liczby dla tego koła to 1 na 359 275, 1 na 9243 i 1 na 368. Różnica między „17” a „jakimś numerem” to znów problem urodzinmatematykaProblem urodzinIle osób potrzeba, by dwie z nich prawdopodobnie miały urodziny tego samego dnia, albo ile spinów, zanim jakiś numer prawdopodobnie się powtórzy. Na kole z 37 przegródkami wystarczy 8 spinów, by prawdopodobieństwo przekroczyło połowę.Czytaj całość →: jest 37 sposobów, by się zdziwić.
Chwila oddechu
Coś powtarza się szybko. To coś jest losowe.
Źródła
- Feller, W. An Introduction to Probability Theory and Its Applications, Vol. 1.
- Wizard of Odds. „Ask the Wizard”, pytania o ruletkę.