Zadanie: limit stołu

Matematyka na wesoło

Najpierw spróbuj rozwiązać je samodzielnie. Każde rozwiązanie jest zwinięte; rozwiń je, kiedy zechcesz.

1. System MartingalestrategiaMartingaleProgresja, która podwaja zakład po każdej przegranej. W sekcji Strategie opisano, co robi, a czego nie.Czytaj całość → zaczyna od $100 na czerwonezakładCzerwoneSzansa prosta: zakład na 18 czerwonych numerów. Po francusku: rouge.Czytaj całość → i pozwala sobie na najwyżej n zakładów w cyklu: po n przegranych z rzędu poddaje się i zaczyna od nowa. Zapisz średni wynik jednego cyklu jako wzór zależny od n i oblicz go dla 5, 6 i 7 zakładów na kole europejskim.

   Pokaż rozwiązanie

   Odpowiedź Średnia wynosi 100 × (1 − (38/37)ⁿ): −$14,26 przy 5 zakładach, −$17,35 przy 6 i −$20,52 przy 7. Dopuszczenie większej liczby zakładów pogarsza średni cykl, a nie go poprawia.

   Cykl wygrywa $100, chyba że przegra każdy z n zakładów, co zdarza się z prawdopodobieństwem qⁿ, gdzie q = 19/37. Gdy przegrywają wszystkie, stawki 100, 200 … 100 × 2ⁿ⁻¹ sumują się do 100 × (2ⁿ − 1). Średnia wynosi więc 100 × (1 − qⁿ) − 100 × (2ⁿ − 1) × qⁿ = 100 × (1 − (2q)ⁿ).

   Tutaj 2q = 38/37, nieco więcej niż 1, więc (2q)ⁿ rośnie razem z n, a średnia spada: n = 5 daje 1,1426 i −$14,26; n = 6 daje 1,1735 i −$17,35; n = 7 daje 1,2052 i −$20,52. Dłuższa drabinka przegrywa rzadziej, w 3,6%, 1,8% i 0,9% cykli, ale każda przegrana jest dwa razy większa, a w każdym cyklu przez stół przechodzi więcej pieniędzy, po 2,70% od każdego zakładu.

   Na kole amerykańskim 2q = 40/38, a wyniki to −$29,24, −$36,04 i −$43,20 (Taylor, 2021). W grze bez zerakołoZeroJedyna zielona przegródka, której nie pokrywa żadna szansa prosta ani zakład na tuzin lub kolumnę; źródło przewagi kasyna. Także: pojedyncze zero, 0.Czytaj całość → 2q = 1 i każdy cykl daje średnio dokładnie zero, niezależnie od długości drabinki.

2. „Wielki Martingale” (grand Martingale) podwaja stawkę po przegranej i dodaje jedną jednostkępieniądzeJednostkaStawka bazowa, w której liczy system albo gracz. Progresje opisuje się w jednostkach, żeby pasowały do każdego stołu.Czytaj całość →, więc stawki wynoszą 1, 3, 7, 15, 31 … Ile jesteś na plusie, gdy pierwsza wygrana przychodzi w 1., 2., 3. albo k-tym zakładzie? Przy jednostce $10 i maksimum $500: jak często cykl się załamuje i ile średnio kosztuje cykl?

   Pokaż rozwiązanie

   Odpowiedź Wygrana w k-tym zakładzie daje k jednostek na plusie: +1, +2, +3 i tak dalej. Przy $10 i $500 cykl załamuje się po pięciu przegranych, w 3,57% cykli, co daje −$570. Średnio cykl traci $2,32 z $85,73 postawionych: 2,70%.

   k-ta stawka to 2ᵏ − 1 jednostek: 1, 3, 7, 15, 31. Pierwsze k − 1 stawek sumuje się do 2ᵏ − 2 − (k − 1) = 2ᵏ − k − 1. Wygrana w k-tym zakładzie płaci 2ᵏ − 1, więc cykl kończy się wynikiem (2ᵏ − 1) − (2ᵏ − k − 1) = k jednostek na plusie: jedna dodatkowa jednostka za każdą przegraną przed wygraną.

   Przy $10 za jednostkę stawki wynoszą $10, $30, $70, $150 i $310; następna, $630, przekracza maksimum $500. Pięć przegranych z rzędu, (19/37)⁵ = 3,57%, kosztuje 10 + 30 + 70 + 150 + 310 = $570.

   Średnio: wygrane przynoszą $10 × k z prawdopodobieństwem (19/37)ᵏ⁻¹ × 18/37 dla k od 1 do 5, a załamanie zabiera $570 z prawdopodobieństwem 3,57%; razem −$2,32. Postawione pieniądze wynoszą średnio $85,73 na cykl, a 2,32/85,73 = 2,70%. Zwykły system Martingale przy tym samym stole załamuje się po sześciu przegranych, w 1,83% cykli, co daje −$630, i traci $1,74 z $64,20 postawionych: znowu 2,70%.

3. Gracz planuje grać systemem Martingale na czerwone, z pierwszym zakładem $1 przy stole z limitem $1000, więc możliwych jest dziesięć zakładów: $1, $2, $4 i tak dalej aż do $512. Jak często cykl przegrywa wszystkie dziesięć, ile to średnio trwa i jak często wieczór 200 zakładów kończy się w ten sposób?

   Pokaż rozwiązanie

   Odpowiedź Cykl przegrywa wszystkie dziesięć mniej więcej raz na 784, co kosztuje $1023. To średnio około 1600 zakładów, a wieczór 200 zakładów uderza w ścianę w około 11% przypadków. Cykl nadal traci średnio $0,31 z $11,31 postawionych: 2,70%.

   Zakład na czerwone przegrywa z prawdopodobieństwem 19/37, licząc zero. Dziesięć z rzędu: (19/37)¹⁰ ≈ 0,00128, mniej więcej 1 na 784. Stawki 1 + 2 + 4 + … + 512 sumują się do $1023.

   Cykl trwa średnio 2,05 zakładu, więc 784 cykle to około 1600 zakładów. Licząc spin po spinie, seria dziesięciu przegranych pojawia się gdzieś w 200 zakładach w 11,3% przypadków.

   Między katastrofami gracz wygrywa $1 na cykl: około $783 przed tą złą serią, potem −$1023, w sumie około −$240 na całym odcinku. Na cykl: 1 × (1 − 0,00128) − 1023 × 0,00128 ≈ −$0,31. Pieniądze postawione na cykl: 1 + 2 × (19/37) + 4 × (19/37)² + … + 512 × (19/37)⁹ ≈ $11,31. A −0,31/11,31 = −2,70%.

   Porównaj pierwszy zakład $10 przy limicie $500, czyli sześć zakładów: ściana pojawia się raz na 55 cykli, a wieczór 200 zakładów trafia na nią w 84% przypadków. Wyższy limit sprawia, że krach jest rzadszy i większy, a nie tańszy.