Zbieżność w długim okresie
Jak średnia osiada w okolicach −2,70% i dlaczego trwa to dłużej, niż podpowiada intuicja.
Średnia strata na spin zbiega do −1/37 w miarę przybywania spinów, a rozrzut maleje jak 1/√N. Po 1000 spinów na czerwone średnia mieści się zwykle w granicach ±3% swojej wartości oczekiwanej.
Prawo wielkich liczb
Bieżąca średnia niezależnych zakładów dąży do wartości oczekiwanejmatematykaWartość oczekiwanaŚredni wynik na zakład w długim okresie. −1/37 stawki dla każdego standardowego zakładu w ruletce europejskiej.Czytaj całość →. Po N spinach na szansach prostych po jednej jednostcepieniądzeJednostkaStawka bazowa, w której liczy system albo gracz. Progresje opisuje się w jednostkach, żeby pasowały do każdego stołu.Czytaj całość → średni wynik na spin ma wartość oczekiwaną −1/37 i odchylenie standardowematematykaOdchylenie standardowePierwiastek kwadratowy z wariancji; typowa odległość wyniku od wartości oczekiwanej.Czytaj całość → 1/√N. Przy N = 100 ten rozrzut to 10% stawki, prawie cztery razy więcej niż sygnał 2,7%. Przy N = 1000 to 3,2%, mniej więcej tyle co sygnał. Przy N = 10 000 to 1% i przewaga kasyna jest wyraźnie widoczna. Przewaga jest niewidoczna w jednej sesji, a niezaprzeczalna w ciągu roku.
Co zbiega, a co nie
Średnia na spin zbiega. Suma nie: oddala się od zera w miarę wzrostu N, o około 2,7% N w wartości oczekiwanej, z rozrzutem √N wokół niej. Gracz, który rozegrał 10 000 spinów po $10, może oczekiwać straty $2700, plus minus $1000. Bieżący udział czerwonychzakładCzerwoneSzansa prosta: zakład na 18 czerwonych numerów. Po francusku: rouge.Czytaj całość → dawno osiadł blisko 48,65%; bieżące saldo nie osiadło nigdzie.
- p10 −$440
- p25 −$280
- mediana −$140
- p75 +$0
- p90 +$140
Dlaczego intuicja zawodzi
Ludzie spodziewają się, że przewaga ujawni się szybko, bo 2,70% brzmi jak dużo, i spodziewają się, że długie serie się „wyrównają”, bo prawo wielkich liczbmatematykaPrawo wielkich liczbŚrednia niezależnych wyników zbiega do wartości oczekiwanej wraz ze wzrostem liczby prób.Czytaj całość → mówi, że średnie zbiegają. Obie intuicje błędnie oceniają skalę: przewaga jest mała w stosunku do wariancjimatematykaWariancjaMiara tego, jak szeroko wyniki rozrzucają się wokół wartości oczekiwanej. Wysoka dla zakładu na jeden numer, niska dla szans prostych.Czytaj całość → pojedynczego spinu (σ = 1 jednostka przy EV = 0,027), więc potrzeba (1/0,027)² ≈ 1400 spinów, by stała się widoczna na poziomie jednego sigma. A zbieżność średniej niczego nie cofa w sumie; tylko rozcieńcza dawne wahania.
Zbieżność dla innych zakładów
Dla zakładów na jeden numerzakładJeden numer (straight up)Pojedynczy numer, płaci 35:1.Czytaj całość → σ = 5,84, więc ten sam rachunek daje (5,84/0,027)² ≈ 47 000 spinów, zanim przewaga osiągnie jedno sigma. Gracz stawiający na jeden numer może grać latami, a przewaga nie da się odróżnić od szczęścia w jego własnych zapisach, choć płaci dokładnie te same 2,70% co gracz na czerwone, który widzi ją w ciągu tygodni.
Wniosek dla testowania systemów
Każdy, kto twierdzi, że system działa, powinien umieć to pokazać na 10 000 spinów lub więcej z udokumentowaną dodatnią średnią. Przy 1000 spinów dodatnia średnia na szansach prostych to zdarzenie raz na pięć przy hipotezie zerowej; przy 100 spinach to niemal rzut monetą. Symulatory na tej stronie przeprowadzają 2000 sesji o wybranej długości w sekundę, a to więcej dowodów niż jakiekolwiek świadectwo.
Wzór
Pytania
PrawdopodobieństwomatematykaPrawdopodobieństwoMiara możliwości wystąpienia wyniku, od 0 do 1 albo od 0% do 100%. Jeden numer: 1/37 = 2,70%.Czytaj całość → bycia jeszcze kiedyś na plusie maleje do zera w miarę gry. Suma dryfuje w dół bez ograniczeń.
Nie. Znaczy tylko, że dawne wahania stają się mniejszym ułamkiem większej próby.
Dla szans prostych około 10 000, zanim przewaga będzie wyraźnie widoczna. Dla zakładów na jeden numer około 50 000.
Matematyka na wesoło
Najpierw spróbuj rozwiązać je samodzielnie. Każde rozwiązanie jest zwinięte; rozwiń je, kiedy zechcesz.
Dwóch przyjaciół gra 20 rund gry sprawiedliwejmatematykaGra sprawiedliwaGra, w której żadna strona nie ma przewagi: każdy zakład ma wartość oczekiwaną równą zero.Czytaj całość → – rzut monetą albo czerwonezakładCzerwoneSzansa prosta: zakład na 18 czerwonych numerów. Po francusku: rouge.Czytaj całość → przeciw czarnymzakładCzarneSzansa prosta: zakład na 18 czarnych numerów. Po francusku: noir.Czytaj całość → ze zwrotem stawek przy zerachkołoZeroJedyna zielona przegródka, której nie pokrywa żadna szansa prosta ani zakład na tuzin lub kolumnę; źródło przewagi kasyna. Także: pojedyncze zero, 0.Czytaj całość → – i prowadzi bieżący wynik. Policz rundy, w których każdy z nich prowadzi (remis liczy się temu, kto prowadził tuż przed nim). Co jest bardziej prawdopodobne: że prowadzenie podzieli się 10 rund do 10, czy że jeden z przyjaciół prowadzi przez wszystkie 20?
Pokaż rozwiązanie
Odpowiedź Prowadzenie jednego przyjaciela przez wszystkie 20 rund jest dużo bardziej prawdopodobne: 35,2%, licząc któregokolwiek z nich, wobec 6,1% dla równego podziału 10 do 10.
Prawdopodobieństwo, że bieżący wynik gry sprawiedliwej jest remisowy po 2k rundach, to u = C(2k, k)/2²ᵏ: 0,246 po 10 rundach i 0,176 po 20. Klasyczny wynik, prawo arcusa sinusa, mówi, że prawdopodobieństwo, iż wskazany przyjaciel prowadzi przez dokładnie 2k z 2n rund, wynosi u(2k) × u(2n − 2k).
Prowadzenie przez wszystkie 20: u(20) × u(0) = 0,176 dla każdego z przyjaciół, 35,2% dla któregokolwiek. Równy podział: u(10) × u(10) = 0,246² = 6,1%, najmniej prawdopodobny podział ze wszystkich.
W grze sprawiedliwej prowadzenie rzadko więc przechodzi z rąk do rąk. Gracz, który przez cały wieczór był na plusie albo przez cały wieczór na minusie, nie zobaczył nic niezwykłego, a nie mówi to nic ani o kole, ani o umiejętnościach. Epstein (2013) podaje to samo prawo dla dłuższych gier: w połowie przypadków strona, która ma więcej szczęścia, prowadzi przez ponad 85% gry.
Chwila oddechu
Średnia zbiega. Suma po prostu odchodzi.
Źródła
- Bernoulli, J. Ars Conjectandi.
- Feller, W. An Introduction to Probability Theory and Its Applications, Vol. 1.