Ryzyko ruiny
Prawdopodobieństwo utraty całego bankrolla, zanim osiągniesz cel.
Dla zakładów na szansach prostych ryzyko ruiny wynika ze wzoru na ruinę gracza. Przy bankrollu $500, zakładach po $10 i celu $600 cel osiąga się w około 57% przypadków, a w pozostałych następuje bankructwo.
Pytanie
Masz a jednostekpieniądzeJednostkaStawka bazowa, w której liczy system albo gracz. Progresje opisuje się w jednostkach, żeby pasowały do każdego stołu.Czytaj całość → bankrollapieniądzeBankrollŁączna kwota przeznaczona na grę. Zarządzanie bankrollem to decydowanie, jaką jego część ryzykować na zakład i na sesję.Czytaj całość → i chcesz osiągnąć a + b jednostek, stawiając po jednej jednostce na szansę prostązakładSzansa prostaCzerwone/czarne, nieparzyste/parzyste, wysokie/niskie. 18 numerów, płaci 1:1.Czytaj całość → z prawdopodobieństwemmatematykaPrawdopodobieństwoMiara możliwości wystąpienia wyniku, od 0 do 1 albo od 0% do 100%. Jeden numer: 1/37 = 2,70%.Czytaj całość → wygranej p = 18/37 i prawdopodobieństwem przegranej q = 19/37. Jakie jest prawdopodobieństwo, że osiągniesz cel, zanim dojdziesz do zera? Odpowiedź wyliczyli Pascal, Fermat i Huygens w latach 1650. i jest to jeden z najstarszych wyników rachunku prawdopodobieństwa.
Wzór na ruinę gracza
P(osiągnięcie celu) = (1 − (q/p)ᵃ) / (1 − (q/p)ᵃ⁺ᵇ). Ryzyko ruinymatematykaRyzyko ruinyPrawdopodobieństwo utraty całego bankrollu przed osiągnięciem celu lub założonej liczby spinów.Czytaj całość → to jeden minus ta wartość. Przy q/p = 19/18 ≈ 1,0556 stosunek rośnie wykładniczo wraz z liczbą jednostek, więc wzór surowo karze małe jednostki: im więcej zakładów potrzeba, by osiągnąć cel, tym więcej razy po drodze płaci się myto 2,70%.
Jak to czytać
Małe jednostki szkodzą. Próba podwojenia $500 zakładami po $10 udaje się w 6% przypadków; jednym zakładem $500 udaje się w 48,6%. Odważna gra, czyli mniej i większych zakładów, maksymalizuje prawdopodobieństwo osiągnięcia celu w grze o ujemnej wartości oczekiwanej, bo minimalizuje liczbę razy, gdy stosuje się przewagę kasyna. Maksymalizuje też wariancjęmatematykaWariancjaMiara tego, jak szeroko wyniki rozrzucają się wokół wartości oczekiwanej. Wysoka dla zakładu na jeden numer, niska dla szans prostych.Czytaj całość → tego, co cię spotyka, i szybko kończy wieczór. Twierdzenie nazywa się „odważna gra jest optymalna” i udowodnili je Dubins i Savage w 1965 roku.
Skąd wziął się ten problem
Pytanie jest starsze niż ruletka. W 1656 roku Pascal dał Fermatowi zagadkę: dwóch graczy rzuca trzema kośćmi, każdy zaczyna z 12 żetonami; rzut 11 przesuwa żeton w jedną stronę, rzut 14 w drugą. Obaj ją rozwiązali, a Huygens, który dowiedział się o niej z listu matematyka Pierre'a de Carcavi, opublikował ją w 1657 jako piąte zadanie pierwszej książki o prawdopodobieństwie, z odpowiedzią i bez dowodu. Jedenaście można wyrzucić na 27 sposobów, a czternaście tylko na 15, więc każdy żeton przechodzi na stronę pierwszego gracza 9 razy na 14, a powyższy wzór, przy 12 żetonach z każdej strony, daje mu około 1157 razy większe prawdopodobieństwo wygrania wszystkiego niż przegrania wszystkiego. Przewaga 2,70% jest dużo mniejsza, ale ten sam wzór pokazuje, co robi w wielu zakładach.
Prawdziwy odważny zakład
W kwietniu 2004 roku Ashley Revell, młody Anglik, sprzedał prawie wszystko, co miał, łącznie z ubraniami, i zabrał $135 300 do kasyna Plaza w Las Vegas. Po kilku drobnych zakładach postawił całą kwotę na czerwonezakładCzerwoneSzansa prosta: zakład na 18 czerwonych numerów. Po francusku: rouge.Czytaj całość →, jeden raz. KulkasprzętKulkaMała kulka wypuszczana na tor przeciwnie do ruchu rotora. Współczesne kulki są z ivorine albo teflonu i mają 18–21 mm.Czytaj całość → wpadła na czerwoną 7 i wyszedł z $270 600. Na kole z dwoma zeramikołoZeroJedyna zielona przegródka, której nie pokrywa żadna szansa prosta ani zakład na tuzin lub kolumnę; źródło przewagi kasyna. Także: pojedyncze zero, 0.Czytaj całość → ten jeden spin dawał prawdopodobieństwo 47,37% i kosztował go średnio $7121: tyle wynosi przewaga 5,26% na jednym zakładzie. Rozłożony na zakłady po $10, ten sam cel byłby niemal beznadziejny. Odważna gra nie czyni zakładu dobrym; czyni go możliwie najkrótszym.
Ryzyko ruiny bez celu
Jeśli po prostu grasz, aż zbankrutujesz albo przestaniesz po N spinach, pytanie brzmi: „jakie jest prawdopodobieństwo, że mój bankroll dotknie zera w ciągu N spinów?”. Dla ogólnego N nie ma wzoru zamkniętego, ale symulatory na tej stronie to liczą: bankroll $500 przy $10 na czerwone prawie nigdy nie bankrutuje w 100 spinach (poniżej 1%), bankrutuje w około 9% przypadków w 500 spinach i w około 95% w 5000. Bez reguły zatrzymania prawdopodobieństwo dąży do 100%, co jest długookresową wersją przewagi kasynamatematykaPrzewaga kasynaCzęść każdej stawki, którą kasyno średnio zatrzymuje: 2,70% w ruletce europejskiej.Czytaj całość →.
- p10 −$500
- p25 −$500
- mediana −$500
- p75 +$0
- p90 +$350
Jak długo i jak daleko na plusie
Dwa kolejne klasyczne wyniki odpowiadają na pytania, które gracze naprawdę zadają. Bez celu stałe zakłady na szansach prostych trwają średnio 37 spinów na każdą jednostkę bankrolla na kole europejskim i 19 na amerykańskim, bo każdy spin zabiera średnio 1/37 jednostki (1/19 na kole amerykańskim): 100 jednostek wystarcza średnio na 3700 spinów, choć połowa takich sesji kończy się w ciągu 3134 (zobacz Długość sesji a jej koszt). A niezależnie od wielkości bankrolla prawdopodobieństwo, że na kole europejskim kiedykolwiek będziesz k jednostek na plusie, wynosi (18/19)ᵏ. To 95% dla jednej jednostki i 58% dla dziesięciu, ale żaden bankroll, choćby nie wiem jak duży, nie daje prawdopodobieństwa pół na pół, że kiedykolwiek będziesz 13 jednostek na plusie; na kole amerykańskim to prawdopodobieństwo wynosi (9/10)ᵏ i spada poniżej połowy przy 7 jednostkach.
Bankroll na równe szanse
Odwróć pytanie: ile trzeba przynieść, żeby mieć co najmniej równe szanse wygrania danej kwoty, zanim straci się wszystko? Przy małej wygranej niewiele. Przy większej potrzebny bankroll rośnie stromo, a od pewnego punktu żaden bankroll nie wystarczy, bo nawet nieskończony daje mniej niż równe szanse, że kiedykolwiek będziesz aż tyle do przodu. Taylor (2021) ujmuje to inaczej: na kole amerykańskim, żeby mieć równe szanse dojścia do 100 jednostek, musisz zacząć od 94, ryzykując 94, by wygrać 6. Na kole europejskim potrzeba by 88.
Wniosek praktyczny
Zdecyduj, co próbujesz osiągnąć. Jeśli celem jest konkretna wygrana, stawiaj dużo i rzadko. Jeśli celem jest długi wieczór, stawiaj mało i pogódź się z tym, że przewaga kasyna zabierze swoje 2,70% z dużego obrotupieniądzeObrótŁączna kwota postawiona w trakcie sesji lub okresu, z uwzględnieniem ponownie postawionych wygranych. Także: handle, action.Czytaj całość →. Jeśli celem jest jedno i drugie, coś musi ustąpić, i zwykle jest to cel.
Wzór
Pytania
MartingalestrategiaMartingaleProgresja, która podwaja zakład po każdej przegranej. W sekcji Strategie opisano, co robi, a czego nie.Czytaj całość → zmniejsza je w krótkich sesjach, a drastycznie zwiększa w długich. Gra stałą stawkąstrategiaGra stałą stawkąStawianie tej samej kwoty w każdym spinie. Punkt odniesienia, z którym porównuje się każdą progresję.Czytaj całość → przy większej jednostce to uczciwy sposób, by je zmniejszyć.
Powyższy wzór dotyczy szans prostych. Przy zakładach o dużej wariancji ruina jest bardziej prawdopodobna przy małych stawkach, a cel osiąga się nierówniej; użyj kalkulatora.
Każdy krok w stronę celu jest nieco mniej prawdopodobny niż każdy krok w stronę ruiny; ten stosunek kumuluje się wraz z liczbą kroków.
Matematyka na wesoło
Najpierw spróbuj rozwiązać je samodzielnie. Każde rozwiązanie jest zwinięte; rozwiń je, kiedy zechcesz.
Masz $100 i chcesz mieć $1000, stawiając tylko na czerwonezakładCzerwoneSzansa prosta: zakład na 18 czerwonych numerów. Po francusku: rouge.Czytaj całość →. Plan pierwszy: stawiaj po $1. Plan drugi: stawiaj wszystko, co masz, aż przekroczysz $500, a potem tylko tyle, ile trzeba, by dojść do $1000. Który plan jest lepszy i o ile?
Pokaż rozwiązanie
Odpowiedź Plan drugi, zdecydowanie. Dochodzi do $1000 w około 9,0% przypadków, blisko sprawiedliwych 10%. Plan pierwszy udaje się mniej więcej 7 razy na 10²².
W grze sprawiedliwejmatematykaGra sprawiedliwaGra, w której żadna strona nie ma przewagi: każdy zakład ma wartość oczekiwaną równą zero.Czytaj całość → dojście od $100 do $1000 udawałoby się raz na dziesięć, cokolwiek robisz, bo średnia wartość twoich pieniędzy pozostaje równa $100.
Przewaga kasyna zabiera 2,70% każdego zakładu, więc im mniej postawisz łącznie, tym bliżej jesteś jednego na dziesięć. Plan drugi rozstrzyga sprawę w kilku zakładach: $100 zamienia się w $200, $400, $800, a potem wystarczy $200. Udaje się w około 9,0% przypadków. Plan pierwszy wymaga tysięcy zakładów, zanim błądzenie się skończy, a przewaga, mała w każdym z nich, sumuje się do niemal pewnej ruiny.
To twierdzenie Dubinsa i Savage'a w najprostszej postaci (Epstein, 2013): w grze, która sprzyja kasynu, stawiaj tyle, ile potrzebujesz, tak rzadko, jak się da.
Masz $500 i chcesz mieć $1000, kończąc, gdy tylko je masz. Wybierasz jeden rodzaj zakładu i powtarzasz go, aż raz wygra albo skończą się pieniądze. Który rodzaj daje największe prawdopodobieństwo?
Pokaż rozwiązanie
Odpowiedź Jeden zakład $500 na czerwone: 48,6%. Każdy plan, który rozkłada pieniądze na mniejsze zakłady, wypada gorzej.
Dobierz każdą stawkę tak, by jedna wygrana wystarczyła: $30 na jeden numerzakładJeden numer (straight up)Pojedynczy numer, płaci 35:1.Czytaj całość → wygrywa $1050, $60 na splitzakładSplitDwa sąsiednie numery, płaci 17:1.Czytaj całość → wygrywa $1020 i tak dalej. Potem policz prawdopodobieństwo, że co najmniej jeden zakład wygra, zanim skończą się pieniądze. Szesnaście zakładów po $30 na jeden numer chybia wszystkie z prawdopodobieństwem (36/37)¹⁶ = 64,5%, więc dochodzą do $1000 w 35,5% przypadków.
Tabela pokazuje każdy zakład. Czerwone wypada najlepiej, bo dochodzi do celu jednym zakładem, więc przewagę płaci się raz, od $500. Six linezakładSix lineSześć numerów w dwóch sąsiednich rzędach, płaci 5:1. Po francusku: sixain.Czytaj całość → jest drugi, bo potrzebuje tylko trzech. Pojedynczy zakład na tuzinzakładTuzin1–12, 13–24 albo 25–36, płaci 2:1.Czytaj całość → wypada najgorzej, z prawdopodobieństwem 12/37; nawet grany jednostkamipieniądzeJednostkaStawka bazowa, w której liczy system albo gracz. Progresje opisuje się w jednostkach, żeby pasowały do każdego stołu.Czytaj całość → po $250, aż będziesz mieć $1000 lub więcej, tuzin dochodzi do celu tylko w 46,4% przypadków.
Bollman (2024) buduje tę samą tabelę dla koła amerykańskiego. W jego wierszu tuzina jest pomyłka: powinno być 12/38 = 31,6%.
zakładstawka × liczba zakładówprawdopodobieństwo dojścia do $1000Jeden numer$30 × 1635,5%Split$60 × 835,9%Street$90 × 534,5%Corner$125 × 436,7%Six line$166, $166, $16841,2%Tuzin$500 × 132,4%Czerwone$500 × 148,6%Stawiasz jedną jednostkę na czerwone, spin za spinem, z bankrollempieniądzeBankrollŁączna kwota przeznaczona na grę. Zarządzanie bankrollem to decydowanie, jaką jego część ryzykować na zakład i na sesję.Czytaj całość →, który nigdy się nie kończy. Po pierwszym spinie jesteś jedną jednostkę na plusie albo na minusie. Jakie jest prawdopodobieństwo, że kiedykolwiek znów wyjdziesz dokładnie na zero?
Pokaż rozwiązanie
Odpowiedź 36 na 37, 97,3%. Na kole amerykańskim 36 na 38, 94,7%.
Jeśli pierwszy spin wygra (18 razy na 37), jesteś jedną jednostkę na plusie, a przewaga ściąga w dół każdą nieskończoną sesję, więc prędzej czy później znów przejdziesz przez zero: to pewne. Jeśli przegra (19 razy na 37), musisz odrobić jedną jednostkę, a prawdopodobieństwo, że kiedykolwiek będziesz jedną jednostkę do przodu, wynosi 18/19 (zob. tabelę powyżej).
Razem: 18/37 + 19/37 × 18/19 = 18/37 + 18/37 = 36/37.
Ogólnie to prawdopodobieństwo wynosi 1 minus różnica między prawdopodobieństwami wygranej i przegranej w jednym spinie: 1 − 1/37 na kole europejskim, 1 − 2/38 na amerykańskim. W grze bez zerakołoZeroJedyna zielona przegródka, której nie pokrywa żadna szansa prosta ani zakład na tuzin lub kolumnę; źródło przewagi kasyna. Także: pojedyncze zero, 0.Czytaj całość → tej różnicy nie ma, a prawdopodobieństwo wynosi 1: wynik zawsze wraca do zera. Epstein (2013) podaje ogólną regułę.
Zagadka Pascala z 1656 roku: dwóch graczy rzuca trzema kośćmi, każdy zaczyna z 12 żetonami. Każde 11 przesuwa żeton do pierwszego gracza, każde 14 do drugiego; inne rzuty się nie liczą. Jakie jest prawdopodobieństwo, że pierwszy gracz zdobędzie wszystkie 24? A jeśli zamiast tego stawiasz w każdym spinie 1 jednostkę na czerwone przeciwko znajomemu, który gra rolę banku, po 12 jednostek na stronę, jakie jest prawdopodobieństwo, że zdobędziesz wszystkie 24?
Pokaż rozwiązanie
Odpowiedź Pierwszy gracz wygrywa około 1157 razy na 1158. Ty, stawiając na czerwone, zdobywasz wszystkie 24 jednostki tylko w około 34% przypadków.
Trzy kości dają 11 na 27 sposobów, a 14 na 15 sposobów, więc każdy przesuwany żeton trafia do pierwszego gracza 27 razy na 42, czyli 9 razy na 14. Gdy każda strona zaczyna z 12, prawdopodobieństwo zgarnięcia wszystkiego wynosi 1/(1 + r¹²), gdzie r to stosunek prawdopodobieństwa drugiej strony do twojego.
Dla pierwszego gracza r = 5/9, a (5/9)¹² ≈ 0,00086, więc prawdopodobieństwo wynosi około 0,99914: szanse 9¹² do 5¹², czyli 282 429 536 481 do 244 140 625, około 1157 do 1. Huygens wydrukował dokładnie te liczby w 1657.
Przy czerwonym r = 19/18 z powodu zera, a (19/18)¹² ≈ 1,913: twoje prawdopodobieństwo to 1/2,913 ≈ 34,3%. Moneta dałaby 50%. Przewaga 2,70% na każdym zakładzie sumuje się, w wielu potrzebnych do tego zakładach, do różnicy 16 punktów procentowych.
Chwila oddechu
Odważna gra jest optymalna. I szybko się kończy.
Źródła
- Feller, W. An Introduction to Probability Theory and Its Applications, Vol. 1.
- Epstein, R. A. The Theory of Gambling and Statistical Logic, 2nd ed.
- Taylor, D. G. Games, Gambling, and Probability: An Introduction to Mathematics, 2nd ed.
- Carcavi, P. de. Letter to Huygens, 28 September 1656, on the problem Pascal posed to Fermat.
- Huygens, C. De Ratiociniis in Ludo Aleae.
- Ethier, S. N. The Doctrine of Chances: Probabilistic Aspects of Gambling.
- Reuters. “Briton bets it all on roulette spin, and wins.”
- Las Vegas Sun. “Man wagers life’s worth.”