Odchylenie standardowe
Pierwiastek z wariancjimatematykaWariancjaMiara tego, jak szeroko wyniki rozrzucają się wokół wartości oczekiwanej. Wysoka dla zakładu na jeden numer, niska dla szans prostych.Czytaj całość →: typowa odległość wyniku od jego wartości oczekiwanej.
Na postawione $1 σ wynosi 5,84 dla jednego numeru i 1,00 dla czerwonego. Pomnóż przez stawkę i przez pierwiastek z liczby spinów, a dostaniesz wartość dla sesji.
Reguła kciuka
Mniej więcej dwie trzecie sesji mieści się w granicach jednego σ od wartości oczekiwanej, a 95% w granicach dwóch. Przy 100 spinach na czerwonezakładCzerwoneSzansa prosta: zakład na 18 czerwonych numerów. Po francusku: rouge.Czytaj całość → po $10 (oczekiwane −$27, σ = $100) większość sesji kończy się między −$127 a +$73, a prawie wszystkie między −$227 a +$173. Wynik poza tym zakresem niczego nie dowodzi poza tym, że jedna sesja na dwadzieścia tak wypada.
Dlaczego √N
Oczekiwana stratamatematykaOczekiwana strataWartość oczekiwana razy łączna postawiona kwota; średnia kwota tracona w trakcie sesji lub okresu.Czytaj całość → rośnie proporcjonalnie do N, a rozrzut proporcjonalnie do √N. Przy małym N rozrzut dominuje, a sesje to rzuty monetą z niewielkim przechyłem. Przy dużym N strata wyprzedza rozrzut. Punkt przecięcia, w którym oczekiwana strata równa się jednemu odchyleniu standardowemumatematykaOdchylenie standardowePierwiastek kwadratowy z wariancji; typowa odległość wyniku od wartości oczekiwanej.Czytaj całość →, przypada przy N = (σ/przewaga)² = (1/0,027)² ≈ 1370 spinów dla szans prostych i (5,84/0,027)² ≈ 46 800 dla zakładów na jeden numerzakładJeden numer (straight up)Pojedynczy numer, płaci 35:1.Czytaj całość →. Poniżej tych liczb decyduje szczęście; powyżej – przewaga kasyna.
Jak z tego korzystać
Żeby ocenić, czy sesja była niezwykła, oblicz (wynik − EV)/σ. Gracz na czerwone po $10, który kończy 100 spinów z +$150, jest na poziomie (150 + 27)/100 = 1,77σ, czyli zdarzenia raz na 25: szczęście, nic niezwykłego. Gracz na jeden numer z tym samym +$150 jest na poziomie 0,3σ: zwykły wieczór. Ten sam wynik w dolarach znaczy co innego przy różnych zakładach.
Błąd standardowy proporcji
Ten sam rachunek mówi, ile spinów trzeba, by zobaczyć przewagę kasyna w danych. Błąd standardowy zaobserwowanej proporcji wygranych to √(p(1 − p)/N). Dla czerwonego przy N = 1000: √(0,4865 × 0,5135 / 1000) ≈ 1,6%. Różnica między rzetelną monetą a czerwonym wynosi 1,35%, więc po 1000 spinów nadal nie da się ich z pewnością odróżnić. Po 10 000 błąd standardowy to 0,5% i już się da. To także powód, dla którego wykrywanie skrzywienia koła wymaga tylu spinów.
Ostrzeżenie o skośności
Wyniki zakładów na jeden numer w krótkiej sesji są dalekie od rozkładu normalnego: większość sesji to równe −$10 na spin z okazjonalnymi skokami +$350. Reguła ±1σ poprawnie opisuje rozrzut, ale słabo kształt, dopóki N nie sięga setek. Dla szans prostychzakładSzansa prostaCzerwone/czarne, nieparzyste/parzyste, wysokie/niskie. 18 numerów, płaci 1:1.Czytaj całość → przybliżenie normalne jest dobre już od około 30 spinów.
Wzór
Pytania
To dowód, że rozegranych zostało około 40 sesji albo że trafiła się ta szczęśliwa jedna z czterdziestu. Powtórz ją.
Waha się coraz mniej: błąd standardowy średniej to σ/√N. Przy N = 10 000 wynosi 1% stawki.
Matematyka na wesoło
Najpierw spróbuj rozwiązać je samodzielnie. Każde rozwiązanie jest zwinięte; rozwiń je, kiedy zechcesz.
W 100 spinach na kole europejskim jedna jednostkapieniądzeJednostkaStawka bazowa, w której liczy system albo gracz. Progresje opisuje się w jednostkach, żeby pasowały do każdego stołu.Czytaj całość → na czerwonezakładCzerwoneSzansa prosta: zakład na 18 czerwonych numerów. Po francusku: rouge.Czytaj całość → jest na plusie przy co najmniej 51 wygranych, a jedna jednostka na jeden numerzakładJeden numer (straight up)Pojedynczy numer, płaci 35:1.Czytaj całość → jest na plusie, jeśli jej numer trafi co najmniej 3 razy. Oszacuj oba prawdopodobieństwa za pomocą krzywej dzwonowej, a potem porównaj je z dokładnymi wynikami.
Pokaż rozwiązanie
Odpowiedź Czerwone: krzywa dzwonowa daje 35,6%, a dokładny wynik to 35,5%. Jeden numer: krzywa dzwonowa daje 55,0%, a dokładny wynik to 50,9%. Skrót działa dla czerwonego i zawodzi dla pojedynczego numeru.
Czerwone: wygranych jest średnio 100 × 18/37 = 48,6, z rozrzutem √(100 × 18/37 × 19/37) = 5,0. Plus oznacza 51 lub więcej; punkt pośrodku, 50,5, leży 0,37 rozrzutu powyżej średniej, a krzywa dzwonowa daje 35,6% powyżej niego. Suma dokładnych prawdopodobieństw 51, 52 … 100 wygranych daje 35,5%.
Jeden numer: trafień jest średnio 100/37 = 2,70, z rozrzutem √(100 × 1/37 × 36/37) = 1,62. Trzy lub więcej trafień oznacza więcej niż 2,5, czyli 0,12 rozrzutu poniżej średniej: 55,0% według krzywej dzwonowej. Dokładnie jest to 1 minus prawdopodobieństwa 0, 1 i 2 trafień, 6,5% + 17,9% + 24,7%, co zostawia 50,9%.
Krzywa dzwonowa potrzebuje wielu wyników po obu stronach średniej. Czerwone ma je po 100 spinach; numer, który trafia średnio mniej niż trzy razy, ich nie ma. Krzywa daje nawet 8,7% na „zero trafień”, podczas gdy prawdziwe prawdopodobieństwo wynosi 6,5%. Taylor (2021) w ten sam sposób zestawia rozkład dwumianowy z krzywą dzwonową.
Chwila oddechu
Jedna sesja na dwadzieścia wypada poza dwa sigma. Ktoś zawsze jest w ogonie.
Źródła
- Feller, W. An Introduction to Probability Theory and Its Applications, Vol. 1.
- Ethier, S. N. The Doctrine of Chances: Probabilistic Aspects of Gambling.
- Taylor, D. G. Games, Gambling, and Probability: An Introduction to Mathematics, 2nd ed.